En comunicaciones, la teoría de propagación de señales estudia el desplazamiento de dichas señales desde el transmisor hasta el receptor a través de un medio de transmisión. Dependiendo de las características de la señal y del medio se pueden dar diferentes situaciones. En general se clasifican los casos en función del tipo de distorsión que producen en la señal transmitida.
Este texto se estructura con el siguiente índice de contenidos:
1. Introducción a la Propagación de Señales
En este artículo se explican, tanto conceptualmente como con gráficos en movimiento, los casos más típicos que se producen en la propagación de señales. Para una correcta comprensión del texto es necesario repasar los siguientes conceptos, explicados de forma concienzuda en artículos anteriores:
- Ondas y Movimiento Ondulatorio: las ondas son las perturbaciones sinusoidales que conforman una señal.
- Velocidad de Fase: velocidad de propagación de cualquiera de las fases de una sinusoide.
- Velocidad de Grupo: velocidad de propagación de la envolvente de una portadora modulada.
Es importante recalcar que este texto se centra en la propagación simple, por una sola trayectoria, de una señal a través de un medio entre transmisor y receptor. Es decir, por simplicidad no se tienen en cuenta otros fenómenos como múltiples caminos o reflexiones.
2. Factores Fundamentales en Propagación de Señales
Los distintos casos de propagación de señales se derivan a partir de dos factores fundamentales: el espectro de la señal a transmitir [1] y los parámetros físicos del medio de transmisión [2].
2.1 Espectro de la Señal
Desde el punto de vista de la propagación de señales existen dos tipos de señales: banda base y paso banda.
2.1.1 Señal Banda Base
Una señal banda base se transmite por el medio de transmisión tal y como se ha generado en origen, sin modular una portadora. En ese sentido, la señal está compuesta por componentes frecuenciales que pueden ir desde DC o continua hasta el ancho de banda de la señal, B en la Figura de arriba (izquierda).
Este caso es más fácil de analizar porque no existe un grupo o envolvente que se pueda desplazar a una velocidad distinta a la de la señal global.
2.1.2 Señal Paso Banda
Las señales paso banda se crean cuando una señal moduladora o envolvente (que típicamente es una señal banda base) modula una portadora. En consecuencia las componentes frecuenciales de la señal paso banda están delimitadas por un ancho de banda B en torno a una frecuencia central, la de la portadora, como se muestra en la Figura de arriba (derecha).
A diferencia de la señal banda base, en una señal paso banda la velocidad de grupo de la envolvente y la velocidad de fase de la señal global pueden ser diferentes. Esto da lugar a una mayor complejidad y a la existencia de más casos en lo que a la propagación se refiere.
2.2 Parámetros Físicos del Medio de Transmisión
2.2.1 Índice de Refracción
La velocidad de propagación o fase vp de una onda depende del índice de refracción n del medio de transmisión. Asimismo, el valor n depende de múltiples factores como la frecuencia ω, la densidad, la temperatura o incluso la dirección de propagación [2].
En general, para unas condiciones dadas se puede representar la velocidad de fase en función del índice de refracción, dependiente de la frecuencia:
\begin{equation} v_p(\omega) = \frac{c}{n(\omega)} \end{equation}
Donde c representa la velocidad de la luz.
2.2.2 Función de Propagación de Señales en el Medio
En práctica, para las condiciones establecidas se puede deducir una función ω(k), ó k(ω), que determina las características de la propagación de la señal por el medio.
Recordar que ω representa la frecuencia de la onda y k su constante de propagación o número de onda, como se explicó en este enlace. A menudo la constante de propagación también se representa con el símbolo β.
Además, la velocidad de fase vp es dependiente de ω y k de acuerdo a la siguiente ecuación:
\begin{equation} v_p(\omega) = \frac{\omega}{k(\omega)} \end{equation}
Por lo tanto, comparando la velocidad de fase de las ecuaciones (1) y (2) se puede obtener la función k(ω) a partir de n(ω):
\begin{equation} k(\omega) = \frac{\omega · n(\omega)}{c} \end{equation}
Finalmente, la velocidad de grupo vg también se pueden derivar para cualquier frecuencia a partir de la función anterior k(ω):
\begin{equation} v_g(\omega) = \frac{1}{\cfrac{\partial k(\omega)}{\partial \omega}} \end{equation}
2.2.3 Polinomio de Propagación de Señales
Usando series de Taylor, la función k(ω) se puede aproximar por un polinomio en el ancho de banda de la señal (un ejercicio similar se realizó en este enlace). Simplificando, se pueden analizar los casos más típicos de propagación de señales usando un polinomio genérico de segundo orden:
\begin{equation} k(\omega) = a_2\omega^2 + a_1\omega+a_0 \end{equation}
Notar que la ecuación anterior es una simplificación de la realidad para explicar de forma simple y genérica la propagación de señales. Para un análisis más detallado se pueden consultar las matemáticas de casos más complejos como por ejemplo la propagación por fibra óptica [3].
3. Clasificación de Casos de Propagación de Señales
En este aparatado se clasifican los distintos casos de propagación de señales que posteriormente se mostrarán en movimiento en la sección 4. Como punto de partida se obtiene una ecuación de propagación genérica desde la que se pueden analizar los distinto casos, que se sintetizan después en un cuadro resumen.
3.1 Ecuación de Propagación de Señales Genérica
Se parte de una señal genérica que se quiere transmitir en el origen (x=0). Cada componente de la señal está caracterizada por una frecuencia ω, su amplitud Ai y su fase φi. De este modo se puede escribir la señal así:
\begin{equation} s_{tx}(t) = \sum_iA_i \cos(\omega_i t + \varphi_i) \end{equation}
La señal recibida en el receptor, situado en la posición x, vendrá dada por la siguiente expresión:
\begin{equation} s_{rx}(t,x) = \sum_iA_i \cos[\omega_i t - k(\omega)x + \varphi_i] \end{equation}
Sustituyendo k(ω) por la expresión (5) se obtiene:
\begin{equation} s_{rx}(t,x) = \sum_iA_i \cos[\omega_i( t - a_2\omega_i x - a_1x) - a_0x + \varphi_i] \end{equation}
3.2 Cuadro Resumen de Propagación de Señales
A partir de la ecuación anterior, en función de si los valores de a2, a1 y a0, son o no iguales a cero, se pueden dar diferentes casos que se resumen en el siguiente cuadro. Los cálculos se apoyan también en la ecuación (2) de la velocidad de fase y la ecuación (4) de la velocidad de grupo.
| a_2 | a_1 | a_0 | v_p | v_g | Señal Banda Base | Señal Paso Banda | Comentarios | Enlace |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (0) | (≠0) | (0) | \cfrac{1}{a_1} | \cfrac{1}{a_1} | Retardo. | Retardo. | Desfase Lineal. Sin distorsión. | 4.1 |
| (0) | (≠0) | (≠0) | \cfrac{1}{a_1+\cfrac{a_0}{\omega}} | \cfrac{1}{a_1} | Distorsión. | Distorsión señal. Sin distorsión de envolvente. | Desfase Constante en Frecuencia. | 4.2 |
| (≠0) | (≠0) | (0) | \cfrac{1}{a_2\omega+a_1} | \cfrac{1}{2a_2\omega+a_1} | Distorsión. | Distorsión. | Dispersión. | 4.3 |
| (≠0) | (≠0) | (≠0) | \cfrac{1}{a_2\omega+a_1+\cfrac{a_0}{\omega}} | \cfrac{1}{2a_2\omega+a_1} | Distorsión. | Distorsión. | Dispersión. (+Desfase Constante). | 4.4 |
| (x) | (0) | (x) | – | – | – | – | Sin propagación. | 4.5 |
La columna «Enlace» contiene los enlaces a los apartados correspondientes donde se muestran señales en movimiento.
Como resumen se puede indicar que:
- La constante a0 introduce desfases constantes en frecuencia. Para señales banda base implican distorsión, mientras que para señales paso banda no implican distorsión en la señal demodulada.
- La constante a1 introduce desfase lineal con la frecuencia, que solo se traduce en un retardo de la señal transmitida.
- La constante a2 introduce distorsión en la señal, también en la señal demodulada, denominada habitualmente dispersión.
4. Ejemplos de Propagación de Señales en Movimiento
A continuación se muestran ejemplos en movimiento de todos los casos explicados. En todos ellos se utilizan pulsos gaussianos como señal banda base.
4.1 Propagación de Señales con Desfase Lineal
En este caso tanto la velocidad de fase como la velocidad de grupo de todas las componentes frecuenciales de la señal es la misma, independientemente de la frecuencia. Por lo tanto, durante la propagación, la señal se desplaza sin cambiar su forma. En otras palabras, al receptor llega la señal original con una retardo pero sin distorsión.
4.1.1 Propagación de Señal Banda Base con Desfase Lineal
A continuación se muestra este caso en movimiento para un pulso banda base:
El pulso mantiene su forma original durante todo el desplazamiento.
4.1.2 Propagación de Señal Paso Banda con Desfase Lineal
La siguiente gráfica ilustra el caso equivalente para un pulso paso banda, es decir, un pulso que modula una portadora:
Se puede apreciar que tanto la envolvente como la señal se desplazan a la misma velocidad, sin distorsión.
4.2 Propagación de Señales con Desfase Constante en Frecuencia
En este caso, durante la propagación de la señal, además del desfase lineal que se traduce en el correspondiente retardo, se añade un desfase constante igual para todas las frecuencias. Este fenómeno se analiza concienzudamente en este enlace.
Resumiendo, la velocidad de fase y la velocidad de grupo son diferentes, como se aprecia en el cuadro resumen. Mientras que la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia, lo que provoca distorsión en la señal que se propaga, la velocidad de grupo es constante, por lo que la envolvente permanece inalterada durante su desplazamiento.
4.2.1 Propagación de Señal Banda Base con Desfase Constante
El fenómeno descrito se traduce en distorsión para una señal banda base, como se ilustra a continuación:
Notar que en el ejemplo mostrado el desfase es constante en frecuencia pero dependiente de la posición x. La señal del vídeo finaliza con un desfase de -90º (en la posición x=2m), equivalente a una Transformada de Hilbert.
4.2.2 Propagación de Señal Paso Banda con Desfase Constante
Sin embargo, para una señal paso banda la señal cambia su aspecto como en el ejemplo anterior, pero la envolvente no sufre distorsión tal y como se observa a continuación:
De esta forma no existe distorsión en la señal demodulada, que es la que realmente se quería comunicar y que coincide con la envolvente.
Notar que a pesar de la dependencia de la velocidad de fase con la frecuencia, la señal global en su conjunto se propaga a la velocidad de fase de la portadora, como se demuestra aquí y aquí.
4.3 Propagación de Señales con Dispersión
En los medios de transmisión dispersivos tanto la velocidad de fase como la velocidad de grupo son dependiente de la frecuencia. De esta forma tanto la señal como la envolvente se distorsionan durante la propagación.
Típicamente, la dispersión es un fenómeno que aparece en señales paso banda. En concreto, el caso más significativo de comunicaciones con dispersión es la propagación por fibra óptica [3]. Sin embargo, en aras de la exhaustividad, en este apartado también se muestran ejemplos de señales banda base a las que se les aplica dispersión.
4.3.1 Propagación de Señal Banda Base con Dispersión
En línea con lo comentado anteriormente, la siguiente imagen ilustra un pulso banda base que se dispersa durante su desplazamiento:
Se observa que el pulso banda base se distorsiona enormemente durante la propagación debido a la diferente velocidad de sus componentes frecuenciales.
4.3.2 Propagación de Señal Paso Banda con Dispersión
A continuación se muestra el caso más característico de propagación con dispersión, concretamente un pulso gaussiano paso banda:
La señal azul representa la propagación del pulso Gaussiano paso banda. En cambio, la señal roja representa la envolvente del pulso Gaussiano original, antes de aplicar dispersión. Dicha envolvente sin distorsión se va desplazando junto con la señal paso banda para poder apreciar más fácilmente el efecto de la dispersión.
En el vídeo se observa como el pulso paso banda se va ensanchado progresivamente durante la propagación, a la vez que la amplitud máxima disminuye. Se puede concluir que el término «dispersión» se acuña porque la energía del pulso se dispersa durante la propagación, es decir, el pulso va ocupando progresivamente un mayor intervalo temporal.
4.3.3 Efectos en Comunicaciones
En el ejemplo anterior, la señal demodulada en el receptor sería la envolvente del pulso afectado por la dispersión. En otras palabras, la dispersión lleva asociada un ensanchamiento de la señal transmitida. El ejemplo con pulsos permite ilustrar muy bien como la dispersión afecta negativamente a las comunicaciones.
En efecto, si el pulso representa el ‘1’ binario y la ausencia de pulso representa el ‘0’ binario, el ensanchamiento asociado a la dispersión puede traducirse en errores al detectar los bits contiguos, como se muestra en el siguiente vídeo:
Este fenómeno se produce típicamente en comunicaciones por fibra óptica, siendo la dispersión uno de los factores más limitantes en la capacidad y la longitud de un enlace [3].
4.4 Propagación de Señales con Dispersión y Desfase Constante
Para el caso banda base, al añadir un desfase constante (a0) además de la dispersión (a2), se aprecia un efecto equivalente a la suma de ambos fenómenos. Sin embargo, como se ha mencionado arriba, no es un caso muy representativo de ningún medio de comunicaciones real.
En cambio, para el caso de dispersión paso banda, como en una fibra óptica, el desfase constante (a0) también forma parte de la constante de propagación junto con la dispersión (a2). Sin embargo, el efecto del desfase constante no es muy significativo, puesto que no tiene ninguna influencia sobre la envolvente del pulso, siendo la dispersión el efecto más notable.
Por lo tanto, las imágenes y vídeos de los apartados anteriores ya son suficientemente representativos para visualizar este caso. En consecuencia, no se añaden más imágenes en este apartado.
4.5 Caso Sin Propagación
Notar que cualquier situación en la que a1 sea igual a cero implica que la señal no se desplaza en el tiempo, lo que no tiene sentido físico desde el punto de vista de la propagación.
5. Conclusiones
Las principales conclusiones de este artículo son las siguientes:
- La propagación de una señal por un medio de transmisión está determinada por el espectro de la señal y los parámetro del medio.
- El medio de transmisión lleva asociada una función k(ω) de la que se pueden derivar los efectos en la señal durante la propagación.
- Para una función k(ω)=a2ω2+a1ω+a0 , la constante a0 implica un desfase constante en frecuencia, la constante a1 produce un desfase lineal en frecuencia, y la constante a2 determina un desfase cuadrático en frecuencia.
- El desfase lineal asociado a a1 se traduce en retardo de la señal o de la envolvente sin producir dispersión. Velocidad de fase y de grupo permanecer constantes e iguales.
- Desfase constante en frecuencia, asociado a a0, implica velocidad de fase distinta de la velocidad de grupo (constante). Se traduce en distorsión o cambio de aspecto en la señal global mientras que la envolvente permanece inalterada.
- El desfase asociado a a2 se traduce en distorsión conocida como dispersión. La energía de los pulsos se dispersa produciendo un ensanchamiento de éstos. Ello implica limitaciones en la capacidad y distancia de los enlaces
- Se han mostrado videos ilustrando todos los casos mencionados.
Bibliografía
[1] Communication Systems, A. Bruce Carlson.
[2] Wave Propagation and Group Velocity, Léon Brillouin.
[3] Fiber-Optic Communication Systems, Govind P. Agrawal
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