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Velocidad de Grupo: Demostración

El término velocidad de grupo define la velocidad a la que se propaga la envolvente de una señal en un medio de transmisión. Esta señal transmitida por el medio se obtiene cuando una señal moduladora modula una frecuencia central, típicamente denominada portadora [1]. Como resultado, la señal moduladora y la envolvente son equivalentes. Mientras que la envolvente se propaga por el medio a la velocidad de grupo, la velocidad de propagación de la señal global se denomina velocidad de fase.

El presente artículo desarrolla dos formas diferentes de demostrar la ecuación de la velocidad de grupo.

1. Breve Historia de la Velocidad de Grupo

El concepto de velocidad de grupo fue enunciado originalmente por W. R. Hamilton. Sin embargo, fue Lord Rayleigh quién generalizó el término y lo distinguió de la velocidad de fase. Más adelante Sommerfeld refinó y modernizó los desarrollos anteriores. Finalmente, Léon Brillouin, que fue pupilo de Sommerfeld, continúo los esfuerzos de su maestro para clarificar la propagación en medios altamente absorbentes y dispersivos. Su obra [2] se ha convertido en un referente moderno del estudio de la velocidad de grupo en todo tipo de medios.

2. Velocidad de Fase vs Velocidad de Grupo

En este apartado se plantea la diferencia entre la propagación de una única componente frecuencial y el caso de una señal real compuesta por múltiples tonos.

2.1 Propagación de un Tono

Como punto de partida se considera la ecuación genérica, f(x,t), de una única componente frecuencial propagándose en el tiempo t a lo largo del eje x [2]:

\begin{equation} f(x,t) = \cos(\omega t - kx) \end{equation}

Donde:

  • \footnotesize \omega representa la frecuencia angular en rad/sg.
  • \footnotesize k representa la constante de propagación o número de onda en rad/m.

La velocidad de propagación del tono, denominada velocidad de fase \footnotesize v_p , se puede deducir fácilmente escribiendo la ecuación (1) de la siguiente manera [2]:

\begin{equation} f(x,t) = \cos\left[t \left(\omega - \frac{x}{\omega / k}\right)\right] = \cos\left[t \left(\omega - \frac{x}{v_p}\right)\right] \end{equation}

\begin{equation} v_p = \frac{\omega}{k}\end{equation}

Notar que \footnotesize k y \footnotesize \omega pueden estar relacionadas por una función cualquiera. Consecuentemente la velocidad de fase puede ser dependiente de la frecuencia.

2.2 Propagación de Múltiples Tonos

Cualquier señal que transporta información está típicamente formada por un conjunto de componentes frecuenciales que se articulan en torno a la frecuencia central de la portadora \footnotesize \omega_c [1]. De este modo se puede escribir una ecuación de propagación genérica compuesta por múltiples componentes (de frecuencia \footnotesize \omega_i ) con sus respectivas amplitudes (\footnotesize A_i ) y constantes de propagación (\footnotesize k_i ):

\begin{equation} f(x,t) = \sum_i A_i \cos(\omega_i t - k_ix) \end{equation}

\begin{equation} \omega_i = \omega_c + \Delta\omega_i \end{equation}

\begin{equation} k_i = k_c + \Delta k_i \end{equation}

Dada la complejidad del nuevo batido de frecuencias en comparación con el caso simple de la ecuación (1), se plantean las siguientes cuestiones. ¿Se puede separar fácilmente la señal moduladora o envolvente de la portadora? Y, más importante, ¿se pueden distinguir la velocidad de grupo de la envolvente y la velocidad de la señal global? A continuación se responde a ambas preguntas mediante el cálculo de la velocidad de grupo.

3. Velocidad de Grupo

En este apartado se demuestra la velocidad de grupo mediante dos técnicas diferentes: en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

3.1 Demostración Temporal

Simplificando la ecuación (4), se parte de una señal propagadora s(x,t), compuesta por dos tonos de igual amplitud y con frecuencias y constantes de propagación equidistantes a la frecuencia central:

\begin{equation} s(x,t) = \frac{1}{2}\cos[(\omega_c - \Delta\omega) t - (k_{c}-\Delta k) x] + \frac{1}{2}\cos[(\omega_c + \Delta\omega) t - (k_{c}+\Delta k) x] \end{equation}

Aplicando las siguientes igualdades trigonométricas:

\begin{equation}\cos(a)+\cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \end{equation}

\begin{equation}\cos(\phi) = \cos(-\phi) \end{equation}

Se puede escribir (7) de la siguiente manera:

\begin{equation} s(x,t) = \underbrace{\cos(\Delta\omega t - \Delta k x)}_{\text{envolvente}}·\underbrace{\cos(\omega_c t - k_{c}x)}_{\text{portadora}}\end{equation}

Dado que típicamente \footnotesize \Delta\omega << \omega_c , se concluye que la señal se puede expresar como una envolvente de baja frecuencia (\footnotesize \Delta\omega) modulada sobre una portadora (\footnotesize \omega_c ). Este efecto se puede apreciar en la Figura 1(a), donde se ilustra un ejemplo de s(x,\footnotesize t_o ), la representación de la señal en el eje x para un instante particular genérico \footnotesize t_o .

Señal y envolvente (que se propaga a la velocidad de grupo)
Figura 1: Ejemplo de señal y envolvente (que se desplaza a la velocidad de grupo).

Como se deriva a continuación, se pueden distinguir dos casos. En primer lugar el caso particular en el que la velocidad de grupo es constante. En segundo lugar el caso general en el que la velocidad de grupo varía con la frecuencia.

3.1.1 Velocidad de Grupo Constante

A partir de la demostración para obtener la ecuación (10) queda patente que un par de componentes frecuenciales puede formar un «grupo» o envolvente que se propaga a una velocidad de grupo \footnotesize \Delta\omega/\Delta k . Hay que tener en cuenta que esta definición está muy restringida a un caso particular, en línea con la ecuación (7). Concretamente, se trata de la propagación de dos tonos de igual amplitud y separados de forma equidistante de la portadora y de su constante de propagación (\footnotesize \Delta\omega y \footnotesize \Delta k ).

En las mismas condiciones y con las misma restricciones, si consideramos un mayor número de componentes frecuenciales, cada par de tonos en torno a la portadora dará lugar a otra contribución a la envolvente. Y la velocidad de propagación del grupo será constante:

\begin{equation} v_{g_{cte}} = \frac{\Delta\omega}{\Delta k}\end{equation}

Además, de la ecuación (10) también se deriva que la velocidad de fase del conjunto es la de la portadora: \footnotesize \omega_c/k_c en línea con la ecuación (3).

3.1.2 Velocidad de Grupo General

En práctica, en una situación realista, la señal que se propaga no cumplirá necesariamente la condiciones impuestas en el apartado anterior. En primer lugar, una señal de comunicaciones está compuesta por una densidad espectral con una amplitud arbitraria [1]. Además, en un medio de transmisión cualquiera, la constante de propagación puede variar de forma no uniforme con la frecuencia.

Por lo tanto, para una definición universal de la velocidad de grupo se debe aplicar cálculo diferencial. El efecto de reducir \footnotesize \Delta\omega y \footnotesize \Delta k a sus respectivos diferenciales se puede apreciar en la Figura 1(c). De este modo se demuestra que cada componente frecuencial de la señal lleva asociada una velocidad de grupo dada por:

\begin{equation} v_g = \frac{\partial\omega}{\partial k}\end{equation}

Aunque esta definición es más general que la interpretación del apartado 3.1.1, sigue quedando patente la complejidad intrínseca al concepto de velocidad de grupo. En efecto, cuando la velocidad de grupo es constante en frecuencia, no hay duda de la velocidad de propagación de la envolvente de la señal. Sin embargo, cuando la velocidad de grupo depende de la frecuencia, el concepto puede perder sentido físico, puesto que se produce dispersión y distorsión de señal [2]. Este punto es más evidente con la demostración frecuencial de la velocidad de grupo, que se desarrolla en el siguiente apartado.

Por último, en este caso en que la velocidad de grupo no es constante, también se desprende que la velocidad de propagación o fase de la señal global puede no ser igual a la velocidad de fase de la frecuencia central. Ello se debe a que no se puede separar envolvente y portadora con la simplicidad mostrada en la ecuación (10). Esta cuestión se discute en detalle en [2].

3.2 Demostración Frecuencial

En este apartado se demuestra la ecuación de la velocidad de grupo desde el dominio de la frecuencia. Previamente se recomienda repasar la transformada de Fourier en el dominio de la constante de propagación o número de onda k, que se denota F(k).

En primer lugar, los cálculos se simplifican empleando fasores en vez de los tonos empleados en la ecuación (4). De esta forma la señal es el resultado de integrar los fasores que la componen (equivalente a la transformada inversa de Fourier), donde únicamente la parte real del resultado tiene sentido físico:

\begin{equation} f(x,t) = \Re\left( \int F(k)e^{j(kx-\omega t)}dk\right) \end{equation}

El término F(k) es la transformada de Fourier en el dominio espacial para t=0:

\begin{equation} F(k) = \int f(x,0)e^{-jkx}dx\end{equation}

3.2.1 Velocidad de Grupo Banda Estrecha

De nuevo se indica que la frecuencia está relacionada con la constante de propagación mediante una función \footnotesize \omega(k) . De este modo, para una transformada F(k) lo suficientemente estrecha, la función \footnotesize \omega(k) se puede aproximar como una serie de Taylor en torno a una frecuencia central \footnotesize \omega_o :

\begin{equation} \omega(k) = \underbrace{\omega(k_o)}_{\omega_o} + (k-k_o)\underbrace{\frac{\partial\omega}{\partial k}\Bigr|_{k=k_o}}_{v_g} \end{equation}

Notar que la ecuación anterior permite identificar la velocidad de grupo al cumplir con la ecuaciones (11) y (12) obtenidas en el desarrollo temporal. En cualquier caso, para completar la demostración desde el dominio de la frecuencia, se sustituye la ecuación (15) en (13), obteniendo el siguiente resultado:

\begin{equation} \begin{split} f(x,t) &= \real\left[\left(\int F(k)e^{jk(x-v_gt)}dk\right) e^{j[v_gk_o-\omega_o]t}\right] \\ &= \underbrace{f(x-v_gt,0)}_{\text{envolvente}}·\underbrace{\cos[(v_gk_o-\omega_o)t]}_{\text{portadora}} \end{split}\end{equation}

Se concluye que la envolvente se propaga a la velocidad de grupo \footnotesize v_g como se quería demostrar.

3.2.2 Velocidad de Grupo Banda Ancha

El resultado anterior sólo es válido cuando se puede realizar la aproximación de la ecuación (15), como se ilustra en la Figura 2(a). En ese caso, equivalente al explicado en la demostración temporal del apartado 3.1.1, la velocidad de grupo es constante.

Relación frecuencia - numero de onda para caso de velocidad de grupo constante (a) y distorsión (b)
Figura 2: Relación frecuencia – constante de propagación k para casos de velocidad de grupo constante (a) y distorsión (b)

Por el contrario, cuando se necesario incluir elementos de orden superior de la serie de Taylor (ejemplo en Figura 2(b)), la velocidad de grupo deja de ser constante para todas las frecuencias y el concepto pierde sentido físico en línea con las explicación del apartado 3.1.2. Un buen ejemplo de este caso es la propagación por fibra óptica, que produce dispersión, y en consecuencia distorsión de señal [3].

En resumen, la relación \footnotesize \omega(k) \footnotesize k(\omega) ) de un medio de transmisión es un factor determinante en la propagación de señal.

4. Conclusiones

Las conclusiones más importantes de este artículo son:

  • W. R. Hamilton y Lord Rayleigh se pueden considerar los padres del término velocidad de grupo. Investigadores posteriores como Sommerfeld y Brillouin refinaron, modernizaron y divulgaron el concepto.
  • Un tono o componente frecuencial individual se propaga a la velocidad de fase \footnotesize v_p=\omega/k .
  • Una señal paso banda está formada por un conjunto de componentes frecuenciales que dan lugar a una envolvente de baja frecuencia con respecto a la portadora.
  • La velocidad de grupo representa la velocidad de propagación de la envolvente.
  • La fórmula de la velocidad de grupo se puede demostrar en el dominio del tiempo y de la frecuencia resultando en \footnotesize v_g=\partial\omega/\partial k .
  • La velocidad de grupo puede perder sentido físico cuando no es constante para todas las componentes de la señal, puesto que se produce dispersión y distorsión de señal.

Bibliografía
[1] Communication Systems, A. Bruce Carlson.
[2] Wave Propagation and Group Velocity, Léon Brillouin.
[3] Fiber-Optic Communication Systems, Govind P. Agrawal


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