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Señales y Sistemas

Las Matemáticas de la Distorsión Lineal

Las matemáticas de la distorsión lineal solo tienen aplicación en sistema lineales e invariantes con el tiempo [1] [2]. Por ello se resumen brevemente dichos sistemas y su traslación al dominio de la frecuencia, donde se simplifica el análisis matemático. A continuación se discute cómo se puede aplicar la teoría presentada a medios de transmisión y/o componentes electrónicos reales. Finalmente se sintetiza en una tabla las matemáticas de toda la posible casuística de la distorsión lineal, y se explica cada caso individualmente.

1. Contexto: Sistemas Lineales Invariantes Temporales (LTI)

Este apartado repasa brevemente los sistemas lineales invariantes temporales (LTI). Los sistemas LTI son el concepto básico fundamental sobre el que se articula el análisis matemático de la distorsión lineal [1].

De forma genérica, en todo el texto se emplea la siguiente notación para cualquier sistema: \footnotesize x_i(t) representa una señal temporal de entrada e \footnotesize y_i(t) representa la señal de salida asociada. Siendo i un número entero que permite distinguir las distintas contribuciones aditivas de las señales de entrada y salida.

1.1 Linealidad

Un sistema es lineal si y solo si cumple el principio de superposición. Siendo \footnotesize a_i un número real, y dada una entrada \footnotesize a_1x_1(t) + a_2x_2(t) , la salida sería \footnotesize a_1y_1(t) + a_2y_2(t) . Gráficamente:

Sistema lineal cumple con principio de superposición.
Sistema Lineal cumple Superposición

1.2 Invarianza Temporal

Si el sistema no cambia sus propiedades a lo largo del tiempo, se dice que es invariante temporal. Usando como referencia el origen de tiempos, una entrada \footnotesize x(t) produce una salida \footnotesize y(t) . Si el sistema es invariante temporal cualquier retardo \footnotesize \tau en la señal de entrada, \footnotesize x(t -\tau) , produce el mismo retardo en la salida, \footnotesize y(t -\tau) .

1.3 Respuesta Impulsional

Los sistemas LTI están definidos por una respuesta impulsional, h(t), que relaciona la entrada y la salida mediante el operador convolución, \footnotesize (*) . Matemáticamente [1]:

\begin{equation} y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau \end{equation}

La explicación en detalle de la respuesta impulsional y cómo se obtiene está fuera del alcance de este texto. Sin embargo, conviene indicar que en la ecuación (1) se aprecia claramente que el operador convolución es un operador lineal.

1.4 El Dominio de la Frecuencia

1.4.1 Relevancia

Todas las señales que atraviesan un medio de transmisión o un componente electrónico están formadas por una suma de tonos. En realidad, más exactamente, están determinadas por una densidad espectral en el dominio de la frecuencia [1]. En línea con lo anterior, la transformada de Fourier permite descomponer y representar las señales y los sistemas LTI en el dominio de la frecuencia. De esta forma se pueden simplificar muchos conceptos relacionados con el procesado de señal, incluidas las matemáticas de la distorsión lineal, como se muestra más adelante.

1.4.2 La Transformada de Fourier

La explicación detallada de la transformada de Fourier está fuera del objetivo de este texto. Por ellos nos centraremos en los conceptos mínimamente necesarios para entender las matemáticas de la distorsión lineal. Matemáticamente, la transformada de Fourier de una función genérica definida en el dominio del tiempo, x(t), produce su correspondiente función en el dominio de la frecuencia, X(f), mediante la siguiente ecuación [1]:

\begin{equation} X(f) = \mathcal{F}(x(t))= \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2 \pi f t}\,dt \end{equation}

Dado un sistema LTI, y usando la ecuación (2), se pueden obtener las transformadas de Fourier de la señal de entrada x(t), de la respuesta impulsional h(t), y de la señal de salida y(t). Concretamente: X(f), H(f) e Y(f) respectivamente.

1.4.3 Convolución Temporal = Producto Espectral

El concepto clave que permite simplificar los análisis en el dominio de la frecuencia, incluidas las matemáticas de la distorsión lineal, es el siguiente. El operador convolución en el dominio del tiempo se convierte en multiplicación en el dominio de la frecuencia. Matemáticamente se cumple que:

\begin{equation} Y(f) = X(f) ·H(f) \end{equation}

Es por ello que a la función H(f) se le denomina función de transferencia del sistema LTI. La siguiente gráfica ilustra este concepto y la relación temporal y espectral.

Relación dominio temporal y frecuencial. Simplifica análisis de procesado de señal, por ejemplo las matemáticas de la distorsión lineal.
Dominio Temporal vs Dominio Frecuencial para Sistemas LTI

2. Aplicación a Medios de Transmisión y Componentes Electrónicos

En general, los medios de transmisión de señales no son sistemas LTI puros. Siempre existen condiciones meteorológicas, al menos la temperatura, que pueden afectar a la respuesta impulsional del sistema. Algo equivalente ocurre con los medios y componentes electrónicos. Siempre existen valores de tensión y/o corriente y/o potencia y/o temperatura que pueden modificar el comportamiento de los elementos de los circuitos. Además, en cualquiera de los casos, existe el ruido térmico aditivo que aparece en la salida [1].

Por lo tanto, cuando se estudian medios de transmisión y etapas electrónicas como si fueran sistemas LTI, el análisis sólo es válido en unas determinadas condiciones de funcionamiento. Típicamente, dentro de un rango de operación (tensiones, corrientes, potencias, temperatura, ruido….) en los que las variaciones del sistema son despreciables.

3. Las Matemáticas de la Distorsión Lineal

A continuación se explica el modelo básico con el que se analizarán las matemáticas de la distorsión lineal. Posteriormente se muestra una tabla que resume y sintetiza de forma esquemática todas las posibilidades y casuística. Finalmente, se explican los casos de la tabla de forma más detallada.

3.1 Modelo Matemático

Las transformadas de Fourier, incluso las de señales reales, pueden dar lugar a funciones complejas. Por lo tanto la función de transferencia del sistema LTI, H(f), se puede representar en términos de su módulo, \footnotesize |H(f)| , y fase, \footnotesize \phase{H(f)} . Matemáticamente:

\begin{equation} H(f) = |H(f)|e^{j\phase{H(f)}} \end{equation}

Por simplicidad, sin perder generalidad, se puede reducir esta expresión y todas las equivalentes de la siguiente manera:

\begin{equation} H(f) = |H(f)|\phase{H(f)} \end{equation}

Consecuentemente, sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (3), el módulo y fase en la salida del sistema LTI se calcula así:

\begin{equation} |Y(f)| = |X(f)| ·|H(f)| \end{equation}

\begin{equation} \phase{Y(f)} = \phase{X(f)} + \phase{H(f)} \end{equation}

3.2 Tabla Resumen

De acuerdo a la separación de H(f) en módulo y fase, la siguiente tabla sintetiza todas los casos sin distorsión y con distorsión de amplitud o fase. Sin perder generalidad, en todos los casos se debe asumir que X(f) y H(f) tienen contenido espectral en el mismo ancho de banda.

CondiciónH(f)EfectoY(f)y(t)PruebaEjemplo
\footnotesize \phase{H(f)}=0 \footnotesize |H(f)|=K
\footnotesize K > 1
Ganancia
g = K
\footnotesize g·X(f) \footnotesize g·x(t) LinkLink
\footnotesize |H(f)|=K
\footnotesize K = 1
Medio
Pasa Todo
\footnotesize X(f) \footnotesize x(t) LinkLink
\footnotesize |H(f)|=K
\footnotesize K < 1
Atenuación
\footnotesize l=\cfrac{1}{K}
\footnotesize \cfrac{X(f)}{l} \footnotesize \cfrac{x(t)}{l} LinkLink
\footnotesize |H(f)|\not=K Distorsión
en Amplitud
\footnotesize \not\propto X(f) \footnotesize \not\propto x(t) LinkLink
\footnotesize |H(f)|=1 \footnotesize \phase{H(f)}=-2{\pi}fd Retardo
d segundos
\footnotesize X(f)·e^{-j2{\pi}fd} \footnotesize x(t-d) LinkLink
\footnotesize \phase{H(f)}\not\propto-2{\pi}fd Distorsión
de Fase
\footnotesize \not=X(f)·e^{-j2{\pi}fd} \footnotesize \not=x(t-d) LinkLink
Síntesis de posibilidades sin y con distorsión lineal, matemáticas asociadas y ejemplos. Se asume que X(f) y H(f) tienen contenido espectral en el mismo ancho de banda. K es una constante.

3.3 Explicación

3.3.1 Las Matemáticas de la Distorsión Lineal de Amplitud

En primer lugar la tabla analiza independientemente el efecto del modulo de H(f) sobre la amplitud de las componentes frecuenciales de la entrada X(f). Para ello se considera que H(f) no produce ningún desfase.

Cuando |H(f)| es una constante K, las componentes frecuenciales de la entrada son afectadas de forma uniforme. En función del valor de K se pueden dar casos con ganancia en amplitud (K > 1), atenuación en amplitud (K < 1), o sin efecto (K=1), lo que se denomina un filtro pasa todo. En otras palabras, la salida del sistema es una réplica, aunque pueda estar atenuada o amplificada, de la señal de entrada. Por lo tanto no se produce distorsión de amplitud.

Cuando |H(f)| no es una constante, existirán al menos dos componentes frecuenciales de la señal de entrada X(f) que sufrirán distintas modificaciones en su amplitud. En consecuencia, la señal de salida Y(f) cambiará su aspecto respecto a la entrada. Por lo tanto se habrá producido distorsión en amplitud.

Se pueden ver ejemplos de todos los casos mencionados en este enlace.

3.3.2 Las Matemáticas de la Distorsión Lineal de Fase

En segundo lugar la tabla analiza independientemente el efecto del desfase introducido por H(f) en la fase de las componentes frecuenciales de la entrada X(f). Para ello se considera que |H(f)|=1, de modo que no tiene ningún impacto sobre la amplitud de dichas componentes.

Cuando la fase de H(f) es lineal con la frecuencia y proporcional a un valor d, todas las componentes de la entrada sufren el mismo retardo temporal, d segundos. En otras palabras la salida del sistema es una réplica retrasada de la señal de entrada. Por lo tanto, no se produce distorsión de fase.

Al contrario, cuando la fase de H(f) no es lineal con la frecuencia, al menos dos componentes de la entrada sufren distinto retardo temporal. En otras palabras la salida del sistema no es una réplica de la señal de entrada. Por lo tanto, se ha producido distorsión de fase.

Se pueden ver ejemplos de todos los casos mencionados en este enlace.

3.3.3 Efectos Globales

Dada un función de transferencia H(f) arbitraria, se puede dar cualquier combinación de los casos explicados en el punto 3.31 y el punto 3.3.2. En consecuencia existirán casos sin distorsión y casos con distorsión de amplitud y/o fase.

Adicionalmente, existirán los casos en los que se produzca inversión de la señal (multiplicación por -1, equivalente a desfase de un múltiplo impar de 180º). Estos casos no cambian la discusión, puesto que la inversión no añade distorsión. Una señal invertida es perfectamente recuperable revertiendo la inversión.


Bibliografía
[1] Communication Systems, A. Bruce Carlson.
[2] Signals and Systems, A. V. Openheim.


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