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Ondas en Electrónica y Comunicaciones

Este artículo repasa la teoría básica de ondas y movimiento ondulatorio focalizándose en una aplicación práctica: la electrónica y las comunicaciones. Asimismo se proporcionan imágenes y gráficos de ondas en movimiento para facilitar la comprensión de los conceptos explicados.

El texto está organizado de la siguiente manera. En primer lugar se definen las ondas desde un punto de vista general y también matemático. A continuación, para el caso de una onda simple, se derivan los parámetros fundamentales típicos. Posteriormente se analiza el caso de dos ondas que se superponen en direcciones opuestas. Finalmente se generaliza el análisis para el caso de propagación de señales compuestas por múltiples ondas.

El índice de contenidos es el siguiente:

1. ¿Qué son las Ondas?

En este apartado se definen las ondas en términos prácticos y en términos matemáticos.

1.1 Definición de Onda

En términos generales, una onda es simplemente una perturbación que se propaga de forma dinámica en un medio.

En el caso particular de la electrónica y las comunicaciones, estas perturbaciones se denominan señales porque transportan información. Dichas perturbaciones se producen sobre un parámetro eléctrico como pueden ser la tensión, la corriente, la potencia o campos electromagnéticos.

1.2 Ecuación de Onda

En términos matemáticos, una onda es cualquier perturbación que satisface la ecuación de onda. Simplificando, para una onda periódica de amplitud u, velocidad v, y que se propaga en el tiempo t a lo largo del eje x, la ecuación de onda es la siguiente:

\begin{equation} \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\end{equation}

Aunque la ecuación (1) se cumple con perturbaciones periódicas u(x,t) de cualquier aspecto, en electrónica y comunicaciones las soluciones a la ecuación que tienen sentido físico son típicamente sinusoidales. Por ello, dichas formas de onda son las que se emplean en el resto del texto.

2. Ondas Viajeras

En este apartado se estudia en detalle la onda sinusoidal, que representa la unidad más simple que podemos encontrar en comunicaciones. A partir de distintos gráficos, estáticos y en movimiento, se derivan los principales parámetros de la onda. Estos términos son básicos para comprender y construir conceptos más avanzados relacionados con las comunicaciones.

2.1 Función Matemática de Onda

Dado que una onda viajera se propaga a lo largo de un eje x durante un tiempo t, la función de la onda debe ser dependiente de ambos parámetros. En consecuencia la onda se puede representar como una función f(x,t). Además, como se ha mencionado anteriormente, la onda tiene aspecto sinusoidal, por lo que la función se puede escribir así:

\begin{equation} f(x,t) = \cos(kx - \omega t)\end{equation}

Donde el significado físico de k y ω se explica en los siguientes apartados. Por simplicidad se asume una amplitud de onda A igual a la unidad.

Por lo tanto, como la función de onda depende de dos variables (posición x y tiempo t), se pueden realizar distintos tipos de representaciones gráficas. Como se explica a continuación, dependiendo de qué variable se deja fija, se pueden derivar e ilustrar unas u otras características de la onda.

2.2 Ondas en un Punto del Espacio

Fijando el valor de x, la función f(x,t) representa la evolución de la onda a lo largo del tiempo en un punto del espacio. Por ejemplo se puede obtener la onda que se propaga por el medio y se detecta en un receptor localizado en la posición \footnotesize x_o . Por simplicidad matemática, pero sin perder generalidad, se analiza este caso para el origen de coordenadas:

\begin{equation} f(x,t)\Bigr|_{x=x_o=0} =f(0,t) = \cos(\omega t)\end{equation}

Donde ω representa la frecuencia angular en rad/s.

2.2.1 Frecuencia

De la ecuación anterior se deriva que la frecuencia indica la tasa de repetición de la onda sinusoidal a lo largo del tiempo. Se puede expresar de forma angular, ω (rad/s), o en ciclos por segundo, f (Hz). Debido a la periodicidad de 2π radiantes en las funciones sinusoidales, ambas notaciones de la frecuencia están relacionadas mediante la siguiente identidad:

\begin{equation} \omega = 2\pi f \end{equation}

2.2.2 Período

Directamente relacionado con la frecuencia, o tasa de repetición en el tiempo, el período T indica el tiempo que dura un ciclo completo de la onda. O, en otras palabras, el tiempo que transcurre hasta que en la posición \footnotesize x_o se vuelve a producir el paso por el mismo punto del ciclo. Obviamente, a más frecuencia, menor período. Este efecto queda reflejado en la siguiente gráfica:

Representación de ondas en un punto fijo del espacio a lo largo del tiempo
Representación de la onda en un punto del espacio a lo largo del tiempo

Tanto de la ecuación (3) como de la gráfica anterior se puede deducir que:

\begin{equation} T = \frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{f}\end{equation}

2.3 Ondas en un Instante del Tiempo

Retomando la función de dos variables f(x,t), si se fija el valor del tiempo se obtiene una representación o foto de la onda en todo el eje x para un instante del tiempo. De nuevo sin perder generalidad, se puede analizar este caso para el origen de tiempos:

\begin{equation} f(x,t)\Bigr|_{t=t_o=0} =f(x,0) = \cos(kx)\end{equation}

Donde k es el equivalente de la frecuencia angular en el dominio del espacio, con unidades de rad/m.

2.3.1 Longitud de Onda

Del mismo modo que, según la ecuación (3), la onda es periódica con período T en el dominio del tiempo, de acuerdo a la ecuación (6) la onda es igualmente periódica en el dominio del espacio. En este caso el periodo espacial es denominado longitud de onda, λ, y, equivalentemente, viene dado por la expresión:

\begin{equation} \lambda = \frac{2\pi}{k}\end{equation}

Consecuentemente, a mayor valor de k, menor λ, y viceversa. Dicho efecto queda reflejado en la siguiente gráfica:

Representación de ondas en el espacio en un instante del tiempo
Representación de la onda en el espacio para un instante de tiempo

2.3.2 Número de Onda

La constante k es típicamente denominada número de onda. Y se suele definir como el número de longitudes de onda que existen en 2π metros. En efecto, un valor de k igual 1 implica una longitud de onda de 2π metros. En la inmensa mayoría de los casos, k también es igual a la denominada constante de propagación β.

2.4 Ondas en Movimiento

Hasta el momento se han mostrado representaciones estáticas de una onda sinusoidal simple. Dichas figuras han permitido derivar parámetros básicos que caracterizan la onda: frecuencia angular, periodo, número de onda y longitud de onda.

Sin embargo, dado que la onda se desplaza, aún falta por mostrar un parámetro tan importante como la velocidad de propagación. En este apartado se deriva dicha velocidad y se ilustra con gráficos en movimiento.

2.4.1 Velocidad de Fase

La velocidad de fase representa la velocidad de propagación de una fase cualquiera de la onda. Por ejemplo, si se observa una onda simple en movimiento, la velocidad a la que se propaga el pico, o el cero, o un punto de cualquier amplitud, es la velocidad de fase.

Existen muchas formas de demostrar la velocidad de fase. La definición más simple se deriva de las dos gráficas anteriores, las que muestran la longitud de onda λ y el período T. En efecto, dado que una longitud de onda tarda en desplazarse un período completo, se desprende que:

\begin{equation} v_p = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k}\end{equation}

Donde se ha despejado usando las ecuaciones (5) y (7) para obtener la relación con la frecuencia. Notar que con las unidades empleadas en el texto, el resultado se obtiene en m/s.

Para obtener una visión más global de la velocidad de fase se recomienda consultar la siguiente referencia [1].

2.4.2 Representación Gráfica

En el apartado 2.3 se ha explicado como representar una onda en el espacio en un instante del tiempo dado. Consecuentemente, la onda en movimiento se observa al representar gráficamente la función de la onda en el espacio en instantes consecutivos.

A continuación se ilustran tres ondas con longitud de onda de 1 m en movimiento, cada una con una velocidad de fase diferente (y expresada en m/s):

Ondas de 1m de ongitud de onda en movimiento, con diferentes velocidades de fase
Movimiento de ondas con diferente velocidad de fase durante 4 segundos.

En el lapso de tiempo mostrado de duración 4 segundos se comprueba que la onda, o el punto de fase marcado con el indicador, recorre las distancias esperadas: 0.5 m cuando la velocidad de fase es 0.125 m/s, 1 m cuando la velocidad de fase es 0.25 m/s, y 2 m cuando la velocidad de fase es de 0.5 m/s.

2.4.3 Dirección de Propagación de Onda

Todas las conclusiones realizadas hasta el momento son independientes de la dirección de propagación de la onda. A partir de la ecuación (2), y asumiendo que las frecuencias se introducen con valores positivos, se puede deducir que el signo de k indica el sentido de propagación de la onda. En efecto, un valor de k > 0 implica que la onda se propaga hacia la derecha y k < 0 se traduce en una onda que se propaga hacia la izquierda.

A continuación se muestra la misma simulación del apartado anterior, cambiando el signo de k y, consecuentemente, la dirección de propagación:

Ondas en movimiento hacia la izquierda con diferentes velocidades de fase
Movimiento de ondas hacia la izquierda con diferente velocidad de fase durante 4 segundos.

Cualquiera de las imágenes en movimiento mostradas sirven de ejemplo de ondas propagándose en un medio de transmisión, como puede ser un cable o el aire.

3. Ondas Estacionarias

Las ondas estacionarias se producen cuando se superponen dos ondas viajeras que se propagan en direcciones opuestas. Mientras que en una onda simple todos los punto del espacio x presentan la misma amplitud máxima, en una onda estacionaria la amplitud máxima no es constante, sino dependiente de la posición x.

En este apartado se introducen las ondas estacionarias de forma matemática. Además se ilustran ondas estacionarias en movimiento, lo que permite visualizar el efecto resultante.

3.1 Demostración Matemática

En primer lugar se definen dos ondas viajeras que se desplazan en direcciones opuestas. Por simplicidad, se considera que la amplitud de ambas ondas es la misma. Asumiendo que k>0, las ondas que se desplazan a derecha y a izquierda son, respectivamente, las siguientes:

\begin{equation} f^{+}(x,t) = \cos(kx - \omega t)\end{equation}

\begin{equation} f^{-}(x,t) = \cos(-kx - \omega t)\end{equation}

Aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

\begin{equation} \cos(a) +\cos(b)=2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\end{equation}

Se obtiene el siguiente resultado:

\begin{equation} f^{+}+f^{-} = \underbrace{2\cos(kx)}_{\text{Amplitud}}\cos(\omega t)\end{equation}

Por lo tanto, para ondas estacionarias, queda demostrado que cada posición del espacio x tiene asociada una amplitud máxima que sigue un movimiento armónico simple.

3.2 Representación Gráfica

A continuación se muestra el movimiento de ondas propagándose en direcciones opuestas y la onda estacionaria resultante:

Movimiento de ondas propagándose en sentidos opuestos, que dan lugar a una onda estacionaria.
Movimiento de onda estacionaria compuesta por dos ondas que se propagan en sentidos opuestos

Se puede apreciar que el calificativo de la onda estacionaria viene del efecto visual que produce. En efecto, parece que la onda resultante no se desplaza y que cada partícula permanece en la misma posición x. Nótese que el periodo de la onda estacionaria, su tasa de repetición, es igual al periodo de las dos ondas que se superponen, concretamente 4 segundos.

3.3 Aplicaciones: RF y Microondas

En electrónica y comunicaciones las ondas estacionarias aparecen principalmente en el campo de la radiofrecuencia y las microondas. El análisis para estos casos es más complejo que el mostrado aquí, puesto que se pueden superponer ondas con diferentes amplitudes y desfases. Para un tratamiento más profundo de este caso se recomiendan las siguientes referencias [2] [3].

4. Señales

La electrónica y las comunicaciones estudian el envío de información a través de señales. Por ello, en este apartado se describe la formación de señales a partir de ondas de diferentes frecuencias. Finalmente se representa la propagación de una señal y se introduce el concepto de grupo.

4.1 Formación de Señales

En práctica, las señales están compuestas por un conjunto de ondas, cada una con sus correspondientes parámetros (frecuencia ω, amplitud A, número de onda k…) [4]. Por lo tanto, simplificando, una señal se puede representar como un sumatorio de ondas:

\begin{equation} s(x,t) = \sum_{i}f_{i}(x,t) = \sum_{i}A_i\cos(k_ix-\omega_i t) \end{equation}

Donde hay que tener en cuenta que las variables k y ω pueden estar relacionadas por una función cualquiera, determinada por el medio de transmisión. Notar que el término medio de transmisión se emplea aquí en sentido amplio, de forma que también hace referencia al paso por un componente electrónico cualquiera.

4.2 Propagación de Señales

El caso más simple, que no es el más habitual, se produce cuando la velocidad de fase de todas las ondas es la misma. De acuerdo a la ecuación (8), ello implica que la relación ω/k es constante en todas las ondas que componen la señal. En ese caso la señal permanece inalterada mientras se propaga por el medio. Por lo tanto, no se produce distorsión de señal.

En la práctica, la propagación de señales es un tema más complejo, con conceptos que quedan fuera del alcance de este texto. En comunicaciones se emplean típicamente portadoras moduladas con la información a transmitir. Como consecuencia, en la señal resultante se pueden distinguir la fase global, que se propaga a la velocidad de fase, y un grupo o envolvente de más baja frecuencia, que se propaga a la velocidad de grupo. Ambas velocidades pueden ser diferentes, sin que ello implique necesariamente distorsión [4], como también se muestra en este enlace.

4.3 Ejemplo : Propagación Pulso Gaussiano

A continuación se ilustra una señal en movimiento para el caso más simple: banda base, sin distorsión (todas las ondas propagándose a la misma velocidad de fase). En concreto se muestra la propagación de un pulso Gaussiano en las condiciones citadas a una velocidad de fase de 0.5 m/s:

Propagación interactiva de Pulso Gaussiano

El pulso mostrado se compone de múltiples ondas (en práctica se ha simulado usando 100 ondas). La siguiente gráfica muestra el desplazamiento en el tiempo de 5 de ellas, donde los ejes se han retirado para favorecer la visualización:

Componentes propagándose de pulso gaussiano

Se puede observar como las ondas que componen la señal, independiente de su frecuencia y amplitud, se propagan a la misma velocidad. Como resultado, el pulso Gaussiano no cambia su aspecto, es decir, no se distorsiona durante la propagación.

5. Conclusiones

Las conclusiones más importantes de este artículo son:

  • Las ondas son un concepto fundamental en electrónica y teoría de comunicaciones.
  • Una onda es una perturbación que se propaga en un medio, con aspecto típicamente sinusoidal.
  • La función de una onda simple tiene dos variables: tiempo t y espacio x. Consecuentemente se puede representar una onda en un punto a lo largo del tiempo, o una onda en el espacio para un instante de tiempo.
  • Una onda simple está determinada por su amplitud A, periodo T, longitud de onda λ, numero de onda k, y frecuencia ω. De los parámetros anteriores se puede derivar la velocidad de fase a la que se propaga la onda.
  • Las ondas estacionarias se producen cuando se superponen ondas que se propagan en direcciones opuestas.
  • Las señales están compuestas por múltiples ondas de distintas frecuencias y amplitudes.
  • Los medios de transmisión determinan la velocidad de fase de las ondas que componen una señal, y la velocidad de grupo.
  • Si existen ondas que se propagan a diferente velocidad de fase, se modifica el aspecto de la señal original.

Bibliografía
[1] Wave Propagation and Group Velocity, Léon Brillouin.
[2] Microwave Engineering, David M. Pozar.
[3] RF Circuit Design, Cristopher Bowick.
[4] Communication Systems, A. Bruce Carlson.


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