Distorsión de Fase: Explicación y Ejemplos

La distorsión de fase hace referencia a las perturbaciones que se producen directamente en las fases de los tonos que conforman una señal. Además, para que exista distorsión de fase, es necesario que se modifique el «aspecto» de la señal original. El impacto y la relevancia de la distorsión de fase dependerán de dos factores. En primer lugar, de la naturaleza de la señal original, que establece la sensibilidad de dicha señal a la distorsión de fase. En segundo lugar, de la potencia de la distorsión ejercida.

A continuación se explican los efectos directos sobre las fases de las señales que pueden ejercer un medio de transmisión o un componente electrónico. Mediante análisis y ejemplos se distinguen los casos que producen distorsión y los que no.

Modelo Matemático

Como conocimiento previo para entender el texto, hay que tener en cuenta que las señales se pueden descomponer en una suma de tonos de amplitud A, frecuencia f, y fase \footnotesize \varphi . Por lo tanto, una señal genérica \footnotesize s(t) compuesta por N tonos, se expresaría así:

\begin{equation} s(t) = \sum_{i=1}^N{A_i}\cos(2{\pi}f_it\,+\,\varphi_i)\qquad i=1,2,3….,N \end{equation}

Sin embargo, en este texto las explicaciones se realizarán considerando una señal compuesta por únicamente dos tonos, de amplitud 1, y desfase inicial \footnotesize \varphi=0 . Hay que recalcar que dicha simplificación no elimina el carácter general y la aplicabilidad de este análisis. Al contrario, esta simplificación permite comprender la distorsión de fase de forma más sencilla.

En ese sentido, se considera una señal \footnotesize s_{in}(t) , compuesta por dos tonos de amplitud 1 y desfase inicial cero, a la entrada a un medio de transmisión o componente electrónico:

\begin{equation} s_{in}(t) = \cos(2{\pi}f_1t)\;+\;\cos(2{\pi}f_2t) \end{equation}

Siendo \footnotesize \varTheta(f) el desfase ejercido por el medio o componente electrónico, la señal de salida \footnotesize s_{out}(t) quedaría definida por la siguiente expresión:

\begin{equation}\begin{split} s_{out}(t) & = \cos(2{\pi}f_1t + \varTheta(f_1))\;+\;\cos(2{\pi}f_2t+\varTheta(f_2))\\&= \cos\left( 2{\pi}f_1\left(t+\frac{\varTheta(f_1)}{2{\pi}f_1}\right)\right)\;+\;\cos\left(2{\pi}f_2\left(t+\frac{\varTheta(f_2)}{2{\pi}f_2}\right)\right) \end{split}\end{equation}

A partir de (3) se observa que el retraso \footnotesize \tau(f) que sufre cada componente frecuencial viene dado por la siguiente expresión:

\begin{equation} \tau(f) =- \frac {\varTheta(f)}{2{\pi}f} \end{equation}

A continuación, se estudian dos formas posibles de modificar las fases: sin generar distorsión y generando distorsión.

Efecto Sin Distorsión de Fase:
Retardo de Señal

Teoría

El caso sin distorsión de fase se produce cuando la señal \footnotesize s_{in}(t) simplemente sufre un retraso d al atravesar el medio de transmisión o componente electrónico. Para ello, el desfase introducido \footnotesize \varTheta(f) debe ser lineal con la frecuencia y proporcional al retardo d. Matemáticamente:

\begin{equation} \varTheta(f) =-2{\pi}fd \end{equation}

En estas condiciones, aplicando (5) en (4), se deduce que el desfase experimentado por todas y cada una de las componentes frecuenciales es constante, \footnotesize \tau(f)=d .

En efecto, sustituyendo (5) en (3) se obtiene que la señal de salida es una réplica retrasada d sg de la señal de entrada:

\begin{equation} s_{out}(t) \Bigg\vert_{\varTheta(f) =-2{\pi}fd}= \cos(2{\pi}f_1(t-d))\;+\;\cos(2{\pi}f_2(t-d)=s_{in}(t-d) \end{equation}

En resumen, un desfase lineal en frecuencia se traduce en el mismo retraso d para todos y cada uno de los tonos que conforma la señal a la entrada del medio. En consecuencia, la señal sufre un retraso d y no experimenta distorsión de fase. Esto es equivalente a afirmar que no cambia el aspecto de la señal original.

Ejemplo de Retardo de Señal

Por último, este caso se ilustrará con un ejemplo. En la siguiente figura se muestra una señal \footnotesize s(t-d) compuesta por dos componentes frecuenciales, \footnotesize a(t-d) y \footnotesize b(t-d) . Mientras que el caso con d=0 sg representa la señal original, el caso con d=0.1 sg representa la señal desfasada. Como dicha señal únicamente sufre un retardo, se puede afirmar que no se modifica el aspecto de la señal original. Por lo tanto, en este caso se ha producido un desfase lineal, que nunca se traduce en distorsión de fase. Dicho de otro modo, todas las componentes frecuenciales que conforman la señal han sufrido el mismo retraso temporal.

Versiones original y desfasada de una señal compuesta por dos componentes frecuenciales.  Como el desfase es lineal con la frecuencia, no se observa distorsión de fase, tan solo un retardo constante de la señal roja respecto a la azul.
Versiones original y desfasada de una señal compuesta por dos componentes frecuenciales ( a(t-d) = \cos (2{\pi}f_1t-2{\pi}f_1d) , b(t-d) = \cos (2{\pi}f_2t-2{\pi}f_2d) , f_1=2.2 Hz , f_2=1.1 Hz ). Como el desfase es lineal con la frecuencia, no se observa distorsión de fase, tan solo un retardo constante de la señal roja respecto a la azul.

Efecto Con Distorsión de Fase

Teoría

La distorsión de fase se produce cuando el desfase \footnotesize \varTheta(f) sufrido por las componentes frecuenciales de \footnotesize s_{in}(t) no es lineal con la frecuencia:

\begin{equation} \varTheta(f) \not \propto -f \end{equation}

Si la condición (6) se cumple para al menos dos frecuencias de la señal \footnotesize s_{in}(t) , a partir de (4) se deduce que ambas componentes sufrirán retardos diferentes. Y, por tanto, la señal de salida \footnotesize s_{out}(t) modificará su aspecto con respecto a la señal original. En este caso, \footnotesize s_{out}(t) ya no será una réplica retrasada de la señal de entrada \footnotesize s_{in}(t) .

Por simplicidad, se muestran las matemáticas para el caso de desfase –C, constante en frecuencia:

\begin{equation} \varTheta(f)=-C \end{equation}

\begin{equation} \tau(f_1)=\frac{C}{2{\pi}f_1}=d_1 \end{equation}

\begin{equation} \tau(f_2)=\frac{C}{2{\pi}f_2}=d_2\end{equation}

\begin{equation} s_{out}(t)=\cos(2{\pi}f_1(t-d_1))\;+\;\cos(2{\pi}f_2(t-d_2)) \end{equation}

Ejemplo de Distorsión de Fase

Este caso se ilustra con un ejemplo en la siguiente figura. Volviendo a la señal original del ejemplo anterior, en esta ocasión se aplica un desfase constante, \footnotesize \varTheta(f)=-{pi}/2 , a cada componente frecuencial. Tras aplicar el desfase, cada componente mantiene su aspecto. Sin embargo, el retardo temporal de cada componente es diferente y, por lo tanto, se modifica el aspecto de la señal global. En este caso se produce distorsión de fase, porque el desfase aplicado a cada componente no es lineal con la frecuencia.

Distorsión de fase debido a un desfase constante, no lineal en frecuencia, para cada una de las componentes frecuenciales que componen la señal.
Versiones original y desfasada de una señal compuesta por dos componentes frecuenciales ( a(t) = \cos (2{\pi}f_1t+\varTheta) , b(t) = \cos (2{\pi}f_2t+\varTheta) , f_1=2.2 Hz , f_2=1.1 Hz ). Como el desfase de las componentes es constante, no lineal con la frecuencia, se observa distorsión de fase en la señal s(t). Modifica su aspecto original tras aplicar el desfase.

<= Distorsión en Amplitud