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Señales y Sistemas

Velocidad de Fase de Ondas y Señales

La velocidad de fase denota típicamente la velocidad con la que se desplaza una onda o tono sinusoidal en el medio en el que se propaga. El término se acuña porque la velocidad a la que se mueve el tono es equivalente a la velocidad a la que se mueve cualquiera de sus fases, ya sea una fase que produce un cero, un pico, o cualquiera valor.

De forma semejante, aunque con ciertas reservas, se puede extender la definición a la velocidad con la que se propaga una señal compuesta por múltiples tonos. En este caso también se puede entender la velocidad de fase como la velocidad a la que se propaga un cero o un pico, aunque el pico puede ir variando su amplitud durante la propagación.

En primer lugar este artículo explica conceptual y matemáticamente la velocidad de fase de un tono. Posteriormente profundiza en el caso de señales compuestas por solo dos tonos, aunque en condiciones favorables para simplificar el cálculo matemático. Finalmente se demuestra como la complejidad aumenta cuando no se restringe ningún grado de libertad. El índice de contenidos es el siguiente:

1. Velocidad Fase de Tono Sinusoidal

1.1 Contexto

Un tono consiste en una onda sinusoidal de amplitud A que se propaga en el eje x durante un tiempo t:

\begin{equation} f(x,t) = A\cos(kx-\omega t) = A\cos(\omega t - kx) \end{equation}

La explicación de la ecuación anterior y sus parámetros asociados se analizan en detalle en este enlace.

1.2 Demostración

Existen varios métodos para demostrar la velocidad de fase vp. En concreto en este apartado detallamos las siguientes demostraciones: deducción a partir de los parámetros básicos de onda, análisis de retardo de señal, y derivación de fase constante.

Obviamente en todos los casos se obtiene el mismo resultado:

\begin{equation} v_p = \cfrac{\omega}{k} \end{equation}

1.2.1 Parámetros de Onda

En la propagación de un tono se cumple que la onda se desplaza de forma periódica tanto en el tiempo (período T) como en el espacio (longitud de onda λ). Por lo tanto la onda recorre una longitud de onda λ durante un período de tiempo T.

Consecuentemente se deduce la velocidad de fase vp como:

\begin{equation} v_p = \cfrac{\lambda}{T} =\cfrac{\omega}{k} \end{equation}

Donde se han aplicado las relaciones del período T y la longitud de onda λ con la frecuencia de oscilación ω y el número de onda k respectivamente:

\begin{equation} T = \cfrac{2\pi}{\omega} \end{equation}

\begin{equation}\lambda = \cfrac{2\pi}{k} \end{equation}

1.2.2 Retardo de Señal

La ecuación (1) se puede escribir de la siguiente forma [1]:

\begin{equation} f(x,t) = A\cos\left[\omega \left(t - \frac{x}{\omega / k}\right)\right] =A\cos\left[\omega \left(t - \frac{x}{v_p}\right)\right] \end{equation}

De nuevo queda patente que el tono se desplaza con la velocidad de fase vp obtenida en el apartado 1.2.1.

1.2.3 Fase Constante

Dada la ecuación (1), se puede definir un valor de fase constante ϕ cualquiera entre 0 y 2π radianes:

\begin{equation} \phi = kx-\omega t \end{equation}

Tras despejar la variable x se obtiene:

\begin{equation} x =\cfrac{\omega t}{k} + \cfrac{\phi}{k} \end{equation}

La velocidad de fase es la derivada del espacio x con respecto al tiempo t. Por lo tanto:

\begin{equation} v_p =\cfrac{\partial x}{\partial t}= \cfrac{\omega}{k} \end{equation}

1.3 Ejemplos en Movimiento

Tras definir y demostrar la velocidad de fase, la siguiente gráfica muestra tres tonos propagándose a diferentes velocidades:

Ondas de 1m de ongitud de onda en movimiento, con diferentes velocidades de fase
Tres ondas con longitud de onda de un metro desplazándose a diferentes velocidades de fase (expresadas en m/s)

2. Velocidad de Fase de Señal

Una señal está típicamente compuesta por múltiples tonos u ondas de diferentes frecuencias y amplitudes [2]. Obviamente ello da lugar a diferentes formas de onda de la señal, más complejas que un simple tono sinusoidal.

2.1 Planteamiento

2.1.1 Ecuación Genérica

Matemáticamente una señal genérica que se propaga en un medio se puede expresar de la siguiente forma:

\begin{equation} s(x,t) = \sum_i A_i \cos(\omega_i t - k_ix) \end{equation}

Donde las frecuencias y constantes de propagación se pueden definir respecto a los respectivos valores en la frecuencia central ( ωc y kc ) de la siguiente forma:

\begin{equation} \omega_i = \omega_c + \Delta\omega_i \end{equation}

\begin{equation} k_i = k_c + \Delta k_i \end{equation}

Notar que en la ecuación (10) no se añade un desfase genérico en cada tono por simplicidad, ya que no altera las conclusiones de este artículo.

2.1.2 Cálculo

Como se ha demostrado arriba, la velocidad de fase está definida para cada una de las ondas que componen la señal (vpii/ki). Del mismo modo se puede plantear el cálculo de la velocidad de fase para la señal global s(x,t). De acuerdo al anexo A1 (abajo), se demuestra que la ecuación (10) se puede escribir de la siguiente forma:

\begin{equation} s(x,t) = \underbrace{e(x,t)}_{\text{envolvente}}\underbrace{\cos[\omega_c t - k_cx - \varphi(x,t)]}_{\text{portadora}} \end{equation}

Esta ecuación está en línea con la teoría de señales moduladoras (o envolventes) y portadoras [2]. Mientras que la velocidad de grupo está ligada a la envolvente, la velocidad de fase de la señal global está ligada a dicha portadora. Este concepto se puede entender fácilmente considerando que la portadora fuerza ceros de transmisión que se propagan a la velocidad de fase global. Igualmente fuerza picos de transmisión que se propagan a la velocidad de fase, aunque en este caso los picos pueden cambiar su amplitud durante la propagación por efecto de la envolvente.

A continuación se muestra que el cálculo de la velocidad de fase de la señal es fácilmente resoluble en casos simples, pero se complica enormemente si se pretende obtener de forma general para cualquier caso.

2.2 Caso Simple

A continuación se explica el caso más simple que típicamente se emplea en la literatura para distinguir la velocidad de fase y la velocidad de grupo en teoría de propagación de señales [1].

2.2.1 Análisis Matemático

Este caso consiste en suponer que la señal está compuesta por dos tonos de igual amplitud, pero con frecuencias y constantes de propagación (ωi y ki) equidistantes a los valores de la frecuencia central (ωc y kc). Matemáticamente:

\begin{equation}s_{simple}(x,t) = \frac{1}{2}\cos[(\omega_c - \Delta\omega) t - (k_{c}-\Delta k) x] + \frac{1}{2}\cos[(\omega_c + \Delta\omega) t - (k_{c}+\Delta k) x] \end{equation}

Tanto usando la expresión genérica del anexo A1 debajo, o desarrollando la ecuación anterior como se muestra en este enlace, se obtiene la siguiente igualdad:

\begin{equation} s_{simple}(x,t) = \underbrace{\cos(\Delta\omega t - \Delta k x)}_{\text{envolvente}}·\underbrace{\cos(\omega_c t - k_{c}x)}_{\text{portadora}} \end{equation}

Notar que el resultado coincide con la estructura genérica mostrada en la ecuación (13), aunque permitiendo un cálculo simple de la velocidad de fase.

2.2.2 Análisis Conceptual

La propagación de la envolvente está analizada en nuestro artículo sobre la velocidad de grupo. Esta entrada, en cambio, se centra en la velocidad de fase, que viene determinada por la portadora.

Del análisis de este caso simple se obtienen las siguientes conclusiones. A partir de la ecuación (14) es evidente que las dos componentes frecuenciales que componen la señal se pueden propagar a distinta velocidad de fase (vpii/ki). En cambio, a partir de la ecuación (15), es inmediato comprobar que la velocidad de fase de la señal global, equivalente a la velocidad de fase de la portadora, viene dada por la velocidad de fase que tendría la frecuencia central (vpc/kc).

2.2.3 Representación en Movimiento

Para ilustrar esta situación se emplea la siguiente imagen en movimiento, en la que se observan la señal global y las dos componentes frecuenciales de un ejemplo basado en la ecuación (14):

Velocidad de fase de componentes frecuenciales y de señal global
Ejemplo basado en ecuación (14) con ωc=π, kc=2π, Δω=1, Δk=0.9292

Los marcadores muestran las diferentes velocidades de fase de cada elemento. Se observa que las componentes y la señal se propagan a distintas velocidades. En este caso, dada la simplicidad de los resultados matemáticos, es fácil calcular la velocidad de fase de la señal global, es decir, la velocidad a la que se propagan sus ceros (y picos). Queda patente que dicha velocidad resulta ser la velocidad de fase que tendría la portadora.

Notar que la envolvente se ha incluido en color azul claro simplemente por cuestiones estéticas.

2.3 Caso Complejo

Cualquier desviación respecto al caso anterior representado en la ecuación (14) se traduce en un incremento notable de complejidad. Entonces el cálculo de la velocidad de fase de la señal global deja de ser inmediato y hay que aplicar las ecuaciones (20) y (22).

El siguiente ejemplo muestra una pequeña desviación respecto al caso simple anterior. Las velocidades de fase de las componentes frecuenciales pasan a ser 0,4 m/s y 0,6 m/s, es decir, solo hay un pequeño cambio en la segunda onda, permaneciendo las amplitudes de las componentes inalteradas.

Velocidad de fase ejemplo diferente al típico de la literatura

Se demuestra que la velocidad de fase de la señal deja de ser 0,5 m/s (velocidad del marcador rojo en la señal). Sin embargo, el cálculo exacto pasa a ser muy complejo y difícil de generalizar. Rogamos que si alguno de los lectores sabe como generalizar el cálculo lo manifieste en el siguiente enlace.

3. Conclusiones Velocidad de Fase

Las principales conclusiones de este artículo son las siguientes:

  • La velocidad de fase representa la velocidad de propagación de una onda y viene dada por la expresión (vp/k).
  • Se denomina velocidad de fase porque el desplazamiento de la onda viene determinado por el desplazamiento de cualquiera de las fases de la sinusoide.
  • Se puede extender la definición a la velocidad de fase de una señal compuesta por múltiples tonos. En este caso la velocidad de fase de la señal se puede entender como la velocidad a la que se propagan sus ceros (o sus picos).
  • Mientras que el cálculo de la velocidad de fase de un tono es inmediato, la velocidad de fase de una señal sólo se obtiene de forma sencilla en casos simples.

Anexo A1: Cálculo Velocidad de Fase Genérica

A1.1 Punto de Partida Genérico

El punto de partida son las ecuaciones (10), (11), y (12). Estrictamente, en la ecuación (10) se debería introducir un desfase constante que podría ser diferente para cada frecuencia. Dicho desfase no se incluye porque se traduce en mayor complejidad pero no altera las conclusiones de este texto.

A1.2 Desarrollo Matemático

Reordenando términos se obtiene:

\begin{equation} s(x,t) = \sum_i A_i \cos[ (\omega_c t - k_cx)+(\Delta\omega_i t - \Delta k_ix)] \end{equation}

Se aplica la siguiente igualdad trigonométrica:

\begin{equation} \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) \end{equation}

Obteniendo el siguiente resultado:

\begin{equation} \begin{split} s(x,t) &=\sum_i A_i \cos(\Delta\omega_i t - \Delta k_ix)\cos(\omega_c t - k_cx)\\ &-\sum_i A_i \sin(\Delta\omega_i t - \Delta k_ix)\sin(\omega_c t - k_cx) \end{split} \end{equation}

El objetivo es calcular la velocidad de fase y para ello se debe obtener un término sinusoidal que dependa de la frecuencia central y multiplique a la envolvente de la señal. Consecuentemente se aplica la siguiente igualdad trigonométrica (obtenida en este enlace):

\begin{equation} A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = \sqrt{A^2+B^2}\cos\left[\omega t - \arctan\left(\cfrac{B}{A}\right)\right] \end{equation}

Y se obtiene el resultado final:

\begin{equation} s(x,t) = \underbrace{e(x,t)}_{\text{envolvente}}\underbrace{\cos[\omega_c t - k_cx - \varphi(x,t)]}_{\text{portadora}} \end{equation}

\begin{equation} e(x,t) = \sqrt{\left[\sum_i A_i \cos(\Delta\omega_i t - \Delta k_ix)\right]^2+\left[\sum_i A_i \sin(\Delta\omega_i t - \Delta k_ix)\right]^2} \end{equation}

\begin{equation} \varphi(x,t) = \arctan\left(\cfrac{-\sum_i A_i \sin(\Delta\omega_i t - \Delta k_ix)}{\sum_i A_i \cos(\Delta\omega_i t - \Delta k_ix)}\right) \end{equation}

A1.3 Análisis de Resultados

La ecuación (21) permite generalizar la ecuación de la velocidad de grupo para una señal compuesta por múltiples tonos. Sin embargo, la ecuacion (22) no permite calcular fácilmente la velocidad de fase de forma genérica debido a su complejidad. Rogamos que si alguno de los lectores sabe como generalizar dicho cálculo lo manifieste en el siguiente enlace.


Bibliografía
[1]Wave Propagation and Group Velocity, Léon Brillouin.
[2] Communication Systems, A. Bruce Carlson.


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