Los medios de transmisión y los componentes electrónicos pueden tener múltiples efectos sobre las señales que se propagan a través de ellos [1] [2]. Para evitar la distorsión de fase es necesario que la fase del sistema, el desfase introducido por el medio, sea lineal con la frecuencia. Este caso, cuyo efecto consiste en un retardo temporal de la señal, se confunde a menudo con el caso de desfase constante con la frecuencia.
Como veremos en este artículo, el desfase constante, en contraposición con el desfase lineal, sí que se traduce en distorsión en el sentido de que la señal original cambia su aspecto. Sin embargo, para el caso de portadoras moduladas, la distorsión producida por el desfase constante no afecta a la envolvente de la señal, coincidente con la señal moduladora. Por lo tanto, en ese caso particular, el desfase constante no implica distorsión en la señal demodulada.
A continuación se realiza un análisis del desfase constante y su distorsión asociada para señales banda base y paso banda:
1. Elementos con Desfase Constante
En este apartado se introducen distintos elementos y situaciones que dan lugar a desfase constante. La clasificación se realiza discerniendo entre dispositivos electrónicos y medios de transmisión.
1.1 Dispositivos Electrónicos
En electrónica existen múltiples situaciones en las que un componente o procesado generan desfase constante. A veces el desfase constante se busca de forma deliberada, mientras que en otras situaciones simplemente se obtiene de forma colateral sin ser el objetivo principal. A continuación se listan casos y componentes que dan lugar a desfase constante:
1.1.1 Transformada de Hilbert
La Transformada de Hilbert [3] consiste en aplicar un desfase de -90º a todas las componentes frecuenciales de una señal. En sistemas analógicos la transformada de Hilbert se puede realizar con alguno de los dispositivos mencionados más abajo. En sistemas digitales el desfase constante se puede implementar mediante procesado de de señal digital. La transformada de Hilbert es necesaria para mejorar la eficiencia espectral generando modulaciones de banda lateral única.
1.1.2 Acoplador Híbrido
Un Acoplador Híbrido [4] es un dispositivo que divide la potencia de entrada igualmente entre dos salidas. La particularidad es que las frecuencias de ambas salidas presentan un desfase constante entre ellas, típicamente 90º o 180º. Los más habituales son los de 90º (cuadratura), y se diseñan para cubrir bandas muy anchas en mezcladores IQ y moduladores de banda lateral única.
El desfase mencionado queda patente en la matriz de parámetros S de un acoplador híbrido ideal en cuadratura:
\begin{equation} S= \frac{1}{\sqrt{\smash[b]{2}}} \begin{bmatrix} 0 & -j & -1 & 0 \\ -j & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & -j \\ 0 & -1 & -j & 0\end{bmatrix} \end{equation}
Asumiendo que la entrada está presente en el puerto 1, la salida 2 es desfasada -90º mientras que la salida 3 sufre un desfase de -180º. De este modo se explica el desfase de 90º entre ambas salidas:
\begin{equation} \varphi = \phase{S_{21}} - \phase{S_{31}} = 90º \end{equation}
Notar que la matriz de parámetros S sólo representa una frecuencia. La particularidad de estos dispositivos es que la diferencia de fase de 90º se puede mantener para grandes anchos de banda [4], haciéndose prácticamente independiente de la frecuencia.
1.2 Medios de Transmisión
La propagación de una señal por un medio de transmisión se articula en función de parámetros interrelacionados como la velocidad de fase, la velocidad de grupo o el índice de refracción entre otros [5]. Si se cumplen determinadas condiciones, el medio puede inducir un desfase constante en las componentes de la señal transmitida.
Partimos de la siguiente ecuación genérica para f(x,t), una onda propagándose en el tiempo t a lo largo del eje x:
\begin{equation} f(x,t) = \cos[k(\omega) x-\omega t] \end{equation}
Donde:
- \footnotesize \omega representa la frecuencia angular en rad/sg.
- \footnotesize k(\omega) representa la constante de propagación en rad/m y es una función de \footnotesize \omega .
La señal transmitida típicamente está formada por una suma de frecuencias que se propagan simultáneamente. Asumiendo que \footnotesize k(\omega) se puede descomponer de la siguiente manera:
\begin{equation} k(\omega) \approx a\omega + b \end{equation}
Se obtiene que:
- b implica un desfase constante e igual para todas las componentes frecuenciales (bx).
- a está relacionado con la velocidad de propagación y, en consecuencia, el retardo de las componentes frecuenciales (ax).
Este análisis es una simplificación de la realidad, pero permite introducir de forma sencilla el desfase constante producido por un medio de transmisión. Para un estudio más riguroso y complejo se recomienda consultar la propagación en una fibra óptica [6].
2. Modelo Matemático:
Desfase Constante y Distorsión
El análisis se realiza en el contexto de sistemas lineales e invariantes temporales LTI [1][2]. Por simplificar, y para poder cuantificar la distorsión de forma sencilla, el estudio considera una señal de entrada cuya densidad espectral X(f) se muestra en la siguiente figura:
Para que todas las frecuencias tengan la misma potencia, se emplean pulsos de Nyquist que dan lugar a un espectro cuadrado y uniforme. Dicho espectro está delimitado por la frecuencia inicial \footnotesize (f_o) y la frecuencia final \footnotesize (f_o+\Delta f) . Notar que el caso de banda base se obtendría con \footnotesize f_o=0 .
2.1 Función de Transferencia del Desfase Constante
La función de transferencia de un canal sin efecto en amplitud, con retardo \footnotesize t_g y con desfase constante \footnotesize \varTheta_k es:
\begin{equation} |H(f)| = 1\end{equation}
\begin{equation} \phase{H(f)} = -2{\pi}ft_g+\varTheta_k · sgn(f) \end{equation}
La función sgn(f) es igual a 1 para frecuencias positivas y a -1 para frecuencias negativas. A menudo, incluso en literatura prestigiosa, se comete el error de no incluir sgn(f) en la función de transferencia del desfase constante. La prueba de que esta notación es la correcta se obtiene observando la transformada de Fourier de un tono con frecuencia y desfase genéricos [1]:
\begin{equation} x(t) = \cos(2\pi f_ct+\phi) \end{equation}
\begin{equation} X(f) = \frac{1}{2}\left[e^{j\phi}\delta(f-f_c)+e^{-j\phi}\delta(f+f_c) \right] \end{equation}
Para el caso sin defase (\footnotesize \phi=0 ), el espectro es real y consiste en dos deltas de Dirac en las frecuencias positiva y negativa. Cuando se aplica un desfase al tono (\footnotesize \phi\not=0 ), aparece el desfase en la frecuencia positiva y el negado del desfase en la frecuencia negativa. Explicado de otro modo, la transformada de Fourier de una señal real tiene que ser hermítica, y eso sólo es posible añadiendo la función sgn(f) en la fase de la función de transferencia.
Por lo tanto, obviando el retardo o desfase lineal con la frecuencia producido por el componente o medio, el espectro de la señal de salida tras aplicar el desfase constante es el observado en Y(f) en la figura anterior. Al no ser la fase lineal con la frecuencia, se deduce que la señal sufrirá distorsión en el sentido de que cambia su aspecto. En otras palabras, la señal de salida no es una réplica retrasada de la señal de entrada. Sin embargo existe una puntualización a dicha afirmación, como se muestra en el siguiente apartado.
2.2 Desfase Constante en Portadoras Moduladas
Antes de cuantificar la distorsión producida por el desfase constante, se analiza un caso particular: las portadoras moduladas. Se parte de una señal paso banda x(t) obtenida a partir de las componentes \footnotesize x_I(t) y \footnotesize x_Q(t) que modulan en fase y cuadratura una portadora centrada en \footnotesize \omega_c :
\begin{equation} x(t) = x_I(t)\cos(\omega_ct) - x_Q(t)\sin(\omega_ct)\end{equation}
El retardo \footnotesize t_g y el desfase constante \footnotesize \varTheta_k introducidos en la función de transferencia (6) dan lugar a la siguiente señal de salida [1]:
\begin{equation} y(t) = x_I(t-t_g)\cos[\omega_c(t-t_g)+\varTheta_k] - x_Q(t-t_g)\sin[\omega_c(t-t_g)+\varTheta_k]\end{equation}
La anterior ecuación se puede modificar así:
\begin{equation} y(t) = x_I(t-t_g)\cos[\omega_c(t-t_d)] - x_Q(t-t_g)\sin[\omega_c(t-t_d)]\end{equation}
Donde se observa que \footnotesize t_g representa el retardo de grupo de la señal moduladora mientras que el retardo de fase de la portadora \footnotesize t_d es igual a:
\begin{equation}t_d = t_g - \frac{\varTheta_k}{\omega_c} \end{equation}
Se concluye que para portadoras moduladas, los medios que introducen un desfase constante dan lugar a diferentes velocidades de fase y de grupo. Comparando (9) y (11) se observa que la señal global presenta distorsión debido a este desfase constante. Sin embargo, la envolvente o moduladora permanece inalterada lo que permite demodularla y recuperarla sin distorsión. Más adelante se muestran ejemplos donde se ilustra este efecto.
En conclusión, al tratar un canal o señal paso banda, se puede relajar la condición de fase para evitar la distorsión. Ha quedado demostrado que no es necesario exigir fase lineal. En su lugar, la condición es que el retardo de grupo de la envolvente \footnotesize t_g sea constante de acuerdo a la siguiente ecuación:
\begin{equation} t_g = -\frac{1}{2\pi }\frac{d\phase{H(f)}}{df} \end{equation}
2.3 Distorsión por Desfase Constante
En este apartado se modela cuantitativamente la distorsión asociada al desfase constante que se ejerce en una señal. El autor desconoce publicaciones previas que realicen un ejercicio similar. Seguramente se debe a que, en práctica, es difícil cuantificar un efecto que se traduce en un cambio de «aspecto». Aparte, las señales reales tienen componentes frecuenciales de distintas amplitudes, lo que añade otro nivel de complejidad. Es por ello que, por simplificar, en este texto se utiliza el modelo descrito arriba asumiendo componentes frecuenciales de la misma amplitud para conformar la señal.
2.3.1 Reducción a Dos Tonos
Debido al espectro cuadrado, la distorsión por desfase constante debe estar directamente relacionada con el retardo de los tonos más alejados: la frecuencia inicial \footnotesize (f_o) y la frecuencia final \footnotesize (f_o+\Delta f) . Por lo tanto, sin perder generalidad, se puede reducir el cálculo matemático a la señal compuesta únicamente por ambos tonos:
\begin{equation} s_i(t) = \cos(2\pi f_ot) + \cos[2\pi (f_o+\Delta f)t] \end{equation}
Una vez aplicado un desfase constante en frecuencia \footnotesize \varTheta_k , se obtiene:
\begin{equation} \begin{split} s_o(t) &= \cos(2\pi f_ot+\varTheta_k) + \cos[2\pi (f_o+\Delta f)t+\varTheta_k] \\ & \\&= \cos\left[2\pi f_o\left(t-\frac{-\varTheta_k}{2\pi f_o}\right)\right] + \cos\left[2\pi (f_o+\Delta f)\left(t-\frac{-\varTheta_k}{2\pi (f_o+\Delta f)}\right)\right] \end{split} \end{equation}
En consecuencia, ambas componentes sufren un retardo temporal \footnotesize \tau diferente, lo que garantiza el cambio de aspecto y la distorsión lineal de fase. Concretamente:
\begin{equation} \tau(f_o) = \frac{-\varTheta_k}{2\pi f_o} \end{equation}
\begin{equation} \tau(f_o+\Delta f) = \frac{-\varTheta_k}{2\pi (f_o+\Delta f)} \end{equation}
Por lo tanto, la diferencia de retardos entre ambos tonos es igual a:
\begin{equation} \Delta\tau = \tau(f_o) - \tau(f_o+\Delta f) = \frac{-\varTheta_k}{2\pi}\frac{\Delta f}{f_o(f_o+\Delta f)} \end{equation}
Obviamente, y en línea con la ecuación anterior, la diferencia de retardos crece con el ancho de banda de la señal. En dicho caso su valor tiende a:
\begin{equation} \Delta\tau\Bigr|_{\substack{ \\ \\ \Delta f >> f_o}} \approx \frac{-\varTheta_k}{2\pi f_o} \end{equation}
2.3.2 Cuantificación de la Distorsión
El objetivo es dar un valor a la distorsión D que permita evaluar y comparar cuantitativamente la distorsión asociada a distintas situaciones. Para ello es necesario identificar el peor caso posible de \footnotesize \Delta\tau desde el punto de vista de la distorsión. En ese sentido, evaluando la ecuación (15), se puede deducir que:
- Valores de \footnotesize \varTheta_k iguales a múltiplos de \footnotesize \pm 2\pi no producen ninguna distorsión, puesto que reproducen la señal original.
- Valores de \footnotesize \varTheta_k iguales a múltiplos impares de \footnotesize \pm \pi producen inversión. En general no se considera que la inversión sea distorsión, puesto que sólo cambia el signo de la señal original.
- Consecuentemente, el caso más desfavorable de distorsión se produce cuando \footnotesize \varTheta_k es igual a múltiplos impares de \footnotesize \pm \pi/2 . Por ello, a partir de ahora se considera una \footnotesize \varTheta_k' igual a la fase \footnotesize \varTheta_k envuelta en el rango \footnotesize [-\pi/2,+\pi/2] . Por comodidad, se continúa la discusión empleando \footnotesize \varTheta_k sin comillas, lo que no debería causar confusión.
En línea con el anterior razonamiento, se define el peor caso de \footnotesize \Delta\tau desde el punto de vista de la distorsión como:
\begin{equation} \Delta \tau_{max} = \Delta\tau\Bigr|_{\substack{ \\ \\ \Delta f >> f_o \\ \\ \varTheta_k=\mp \pi/2}} \approx \pm \frac{1}{4f_o} \end{equation}
Finalmente, a partir de las ecuaciones (18) y (20), se define la distorsión D asociada al desfase constante \footnotesize \varTheta_k ejercido en la señal como:
\begin{equation} D = \frac{|\Delta\tau|}{|\Delta\tau|_{max}} = \frac{2|\varTheta_k|}{\pi}\frac{\Delta f}{f_o+\Delta f} \end{equation}
De este modo el valor D esta delimitado entre 0 y 1, representando 1 el peor caso de distorsión. Así se puede cuantificar la distorsión producida por el desfase constante sobre la señal, como se ilustra en el siguiente apartado.
3. Efectos del Desfase Constante
A continuación se analizan en más detalle y se proporcionan ejemplos para todos los posibles casos divididos en: señales banda base y señales paso banda de banda estrecha y ancha.
3.1 Señales Banda Base
La distorsión obtenida en una señal banda base se puede obtener a partir de la ecuación (21) haciendo que \footnotesize f_o tienda a cero (\footnotesize f_o \to 0 ):
\begin{equation} D_{baseband} = D\Bigr|_{f_o \to 0}\approx \frac{2|\varTheta_k|}{\pi} \end{equation}
Se observa que la distorsión depende únicamente del desfase constante y es independiente del ancho de banda \footnotesize \Delta f . Esto se debe al elevado período de la componente frecuencial más baja, lo que tiende a maximizar la diferencia de retardos entre las componentes frecuenciales. Como se ha razonado arriba, el peor caso de distorsión se produce para la Transformada de Hilbert, \footnotesize \varTheta_k = -\pi/2. La siguiente gráfica muestra la distorsión asociada a este desfase constante en una señal banda base:
3.2 Señales Paso Banda de Banda Estrecha
Siguiendo la notación del modelo presentado, las señales paso banda de banda estrecha se caracterizan por cumplir la siguiente condición: \footnotesize \Delta f << f_o . Por consiguiente, matemáticamente, a partir de la ecuación (21) se deduce:
\begin{equation} D_{narrowband} = D\Bigr|_{\Delta f << f_o} \approx 0 \end{equation}
Obviamente, la distorsión tiende a cero, puesto que la diferencia de retardos entre los distintos tonos que componen la señal es muy pequeña o incluso despreciable. Este efecto se puede apreciar en la siguiente gráfica, donde se ha aplicado el peor caso de desfase constante (\footnotesize \varTheta_k=-\pi/2) a una señal paso banda de banda estrecha:
Inapreciable incluso con el zoom de la gráfica, el desfase constante produce una pequeñísima distorsión. Concretamente, los picos de la señal roja son ligeramente distintos a los contiguos de la señal azul. En términos prácticos, el desfase constante se ha traducido en un retardo constante para todas las componentes frecuenciales. Consecuentemente apenas cambia el aspecto de la señal original. En cualquier caso, la envolvente de la señal permanece inalterada.
3.3 Señales Paso Banda de Banda Ancha
Finalmente se analiza el caso de señales paso banda de banda ancha. En este caso se cumple que \footnotesize \Delta f >> f_o . Aplicando esta condición, a partir de la ecuación (21), la distorsión obtenida es:
\begin{equation} D_{wideband} = D\Bigr|_{\Delta f >> f_o}\approx \frac{2|\varTheta_k|}{\pi} \end{equation}
Para este caso la distorsión tiende a depender únicamente del valor de desfase constante, siendo máxima para \footnotesize \varTheta_k=\pm \pi/2. Debido al elevado ancho de banda de la señal, la diferencia de retardos entre las diferentes componentes frecuenciales tiende a ser máxima. La siguiente gráfica muestra un ejemplo donde se observa claramente la distorsión:
La señal original (azul) y la señal desfasada (roja) son claramente diferentes, lo que demuestra que el desfase constante ha producido distorsión. Sin embargo, y en línea con la demostración del apartado 2.2, la envolvente o señal moduladora (negro) permanece inalterada. Es por ello que la distorsión debida a desfase constante en frecuencia en una señal paso banda no se traduce necesariamente en distorsión en el sistema de transmisión.
4. Conclusiones
Las conclusiones más importantes de este artículo son:
- Medios de transmisión, dispositivos electrónicos y procesado de señal, pueden introducir un desfase constante en frecuencia en una señal.
- A diferencia del desfase lineal con la frecuencia, el desfase constante en frecuencia sí que produce distorsión.
- La distorsión asociada a desfase constante en frecuencia es más notoria en señales banda base y en señales paso banda de banda ancha que en señales paso banda de banda estrecha.
- La envolvente de portadoras moduladas no se distorsiona debido al desfase constante en frecuencia. La distorsión por desfase constante en la señal modulada no implica que exista distorsión de la señal demodulada.
Bibliografía
[1] Communication Systems, A. Bruce Carlson.
[2] Signals and Systems, A. V. Openheim.
[3] Hilbert Transform in Signal Processing, Stephan Hahn.
[4] Microwave Engineering, David M. Pozar.
[5] Wave Propagation and Group Velocity, Léon Brillouin.
[6] Fiber-Optic Communication Systems, Govind P. Agrawal
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