La transformada de Hilbert es una operación lineal que se aplica a señales reales. En términos prácticos la transformada de Hilbert se traduce en un desfase de -90º en las frecuencias positivas (y de +90º en las frecuencias negativas) que componen la señal. La relevancia de la transformada de Hilbert en ingeniería de telecomunicación se debe a su contribución en la obtención de señales espectralmente eficientes. Por ejemplo en la generación de señales con espectro de banda lateral única o en la generación de la señal analítica.
A continuación se repasan las matemáticas básicas de la transformada de Hilbert, y sus efectos genéricos sobre las señales en los dominios del tiempo y de la frecuencia. Finalmente se discuten sus aplicaciones principales. El texto está organizado con el siguiente índice:
1. Las Matemáticas de la Transformada de Hilbert
En este apartado se muestra que la transformada de Hilbert \footnotesize \hat{s}(t) de una señal real s(t) es un operador \footnotesize \mathcal H() equivalente a un filtro lineal, no-causal, e invariante temporal [1] [2]. Se explican las matemáticas de la transformada de Hilbert tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Para ello, de forma genérica, se utiliza la siguiente notación:
\begin{equation} s(t) \xtofrom[\mathcal{H}^{-1}]{\mathcal{H}} \hat{s}(t) \end{equation}
\begin{equation} \hat{s}(t) = s(t) * h_{\mathcal{H}}(t) \end{equation}
\begin{equation} \hat{S}(f) = S(f) · H_{\mathcal{H}}(f) \end{equation}
Donde \footnotesize h_{\mathcal{H}}(t) representa la respuesta impulsional del operador transformada de Hilbert en el dominio del tiempo, y \footnotesize H_{\mathcal{H}}(f) representa su función de transferencia en el dominio de la frecuencia.
1.1 Dominio de la Frecuencia
El análisis en el domino de la frecuencia permite una interpretación más intuitiva de la transformada de Hilbert. Dada un señal real cuyo espectro (hermítico) es S(f), el espectro transformado \footnotesize \hat{S}(f) experimenta esencialmente un desfase de 90º. En concreto, y dada la hermiticidad de una señal real, se trata de un desfase de -90º en las frecuencias positivas y de +90º en las frecuencias negativas. Por lo tanto, matemáticamente, la función de transferencia de la transformada de Hilbert es:
\begin{equation} H_{\mathcal{H}}(f) = -j·sgn(f) = \begin{cases} -j = e^{-j \frac{\pi}{2}} &\text{for } f > 0 \\ 0 &\text{for } f = 0 \\ +j= e^{+j \frac{\pi}{2}} &\text{for } f < 0 \end{cases} \end{equation}
De este modo, la transformada de Hilbert de las funciones trigonométricas básicas es la siguiente:
\begin{equation} \cos(2\pi ft) \xtofrom[\mathcal{H}^{-1}]{\mathcal{H}} \sin(2\pi ft) \xtofrom[\mathcal{H}^{-1}]{\mathcal{H}} -\cos(2\pi ft) \xtofrom[\mathcal{H}^{-1}]{\mathcal{H}} - \sin(2\pi ft) \xtofrom[\mathcal{H}^{-1}]{\mathcal{H}} \cos(2\pi ft) \end{equation}
Notar que, en términos prácticos, la ecuación anterior implica que si se representa una señal como suma de componentes frecuenciales positivas, su transformada de Hilbert se obtiene añadiendo un desfase de -90º a dichas componentes.
1.2 Dominio del Tiempo
La respuesta impulsional de la transformada de Hilbert es:
\begin{equation} h_{\mathcal{H}}(t) = \cfrac{1}{\pi t} \end{equation}
Y, en consecuencia, se cumple que su transformada de Fourier es igual a la función de transferencia mencionada en el apartado anterior:
\begin{equation} \cfrac{1}{\pi t} \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} -j·sgn(f) \end{equation}
La demostración de la ecuación anterior de forma directa implica emplear el concepto del Valor Principal de Cauchy, que se encuentra fuera del alcance de este texto. En su lugar, se realiza una demostración indirecta basada en la Propiedad de Dualidad de la transformada de Fourier, de modo que se debe cumplir que:
\begin{equation} -j·sgn(t) \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} -\cfrac{1}{\pi f}\end{equation}
Para demostrar la ecuación anterior hay que tener en cuenta los siguientes conceptos:
- La derivada de la función signo esta relacionada con la delta de Dirac δ(t) de acuerdo a la siguiente ecuación:
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}sgn(t) = 2\delta(t) \end{equation}
- La transformada de Fourier de la función delta de Dirac es igual a la unidad de modo que, a partir de la ecuación (9), se deduce:
\begin{equation} {\mathcal{F}} \left[\frac{\partial}{\partial t}sgn(t)\right] = 2 \end{equation}
- La transformada de Fourier de la derivada de una función genérica g(t) está relacionada con la transformada de la propia función tal que:
\begin{equation} {\mathcal{F}} \left[\frac{\partial}{\partial t}g(t)\right]= j2\pi f{\mathcal{F}}[g(t)] \end{equation}
Aplicando la ecuación genérica (11) a la función sgn(t) y comparando el resultado con la ecuación (10), se deduce directamente la ecuación (8) como se pretendía demostrar.
2. Efectos de la Transformada de Hilbert en Señales
En este apartado se muestra que los efectos de la transformada de Hilbert dependen del espectro de la señal original. En concreto, se distinguen los casos de señales banda base y señales paso banda. En práctica, las aplicaciones de la transformada de Hilbert se centran en el espectro y la eficiencia espectral, por lo que los efectos sobre la señal en el dominio del tiempo pueden no ser relevantes.
Para una descripción más genérica del efecto del desfase constante en frecuencia sobre señales reales se recomienda consultar este enlace.
2.1 Señales Banda Base
La siguiente imagen muestra el espectro de una señal banda base real antes y después de aplicar la transformada de Hilbert. Se observan los desfases de -90º en las frecuencias positivas y de 90º en las frecuencias negativas.
Dado que cada una de las frecuencias que componen la señal sufre un desfase constante, que no es lineal con la frecuencia, el aspecto de la señal temporal resultante es diferente al de la señal original. En otras palabras, se ha producido distorsión de fase. La siguiente gráfica muestra un ejemplo de una señal banda base real y su transformada de Hilbert, en el dominio del tiempo, donde se puede apreciar el cambio de aspecto:
2.2 Señales Paso Banda
En línea con el ejemplo anterior, la aplicación de la transformada de Hilbert a una señal real paso banda produce el efecto en el espectro mostrado en la siguiente imagen:
Con un razonamiento equivalente al ejemplo banda base, se podría deducir que la señal resultante es diferente a la señal original, presentando distorsión de fase. La siguiente gráfica ilustra este comportamiento:
Sin embargo, para el caso de señales paso banda existe una importante puntualización. Como se observa en la imagen, la envolvente de la señal transformada (en color negro) es igual a la envolvente de la señal original. La envolvente es la señal moduladora, o señal que típicamente se quiere comunicar. El efecto de la transformada de Hilbert se puede entender como equivalente a un desfase de 90º en la portadora del transmisor. Por ello, una vez el receptor se enganchase a la señal recibida, la envolvente demodulada sería igual a la transmitida. En otras palabras, no se produciría distorsión en la comunicación.
3. Aplicaciones de la Transformada de Hilbert en Comunicaciones
En ingeniería de telecomunicaciones, la transformada de Hilbert es una herramienta fundamental para el procesado y obtención de señales espectralmente eficientes [3]. Este apartado repasa brevemente sus aplicaciones principales.
3.1 Espectro de Banda Lateral Única (SSB)
En este caso, la transformada de Hilbert se emplea para reducir el ancho de banda de transmisión de una señal paso banda.
3.1.1 Representación Esquemática
Para ilustrar esta estrategia se emplea la siguiente gráfica:
Se parte de una señal real banda base s(t). Por simplicidad, y sin perder generalidad, la señal banda base en la imagen consiste de un único tono. Como se observa en la rama superior, cuando la señal banda base modula una portadora, se obtienen componentes frecuenciales a ambos lados de la frecuencia central ωc (componentes en rojo y verde en la imagen). Es lo que se conoce como una señal de doble banda lateral (DSB por sus siglas en inglés).
Sin embargo, cuando se suman o restan las señales de doble banda lateral obtenidas al modular en cuadratura la señal original s(t) y su transformada de Hilbert \footnotesize \hat{s}(t) , se obtiene un espectro de banda lateral única (SSB por sus siglas en inglés). En efecto, debido a que la suma de dos componentes con un desfase de π radianes se anula, se puede obtener un espectro que solo incluya las frecuencias por debajo o por encima de la frecuencia central.
3.1.2 Representación Matemática
Es evidente que el razonamiento anterior se puede extender a una señal real banda base genérica s(t) con un ancho de banda determinado. De está forma la transformada de Hilbert permite obtener una señal paso banda SSB mediante el esquema mostrado en la imagen. Matemáticamente:
\begin{equation} s_{SSB}(t) = s(t)\cos(\omega_ct) \pm \hat{s}(t)\sin(\omega_ct) \end{equation}
El esquema anterior se puede implementar tanto de forma analógica (típicamente mediante el uso de acopladores híbridos de 90º y mezcladores IQ) como con procesado de señal digital.
3.2 Señales en Cuadratura
La transformada de Hilbert también se emplea en la generación de señales en cuadratura, es decir en el plano complejo. A continuación, se explican brevemente las ventajas que se obtienen con la generación y el procesado de estas señales.
3.2.1 Señal Analítica
Dada una señal real paso banda s(t), su señal analítica sa(t) es compleja e incorpora únicamente las frecuencias positivas de s(t). Además sa*(t), que también es compleja, incorpora únicamente las frecuencias negativas de s(t).
3.2.1.1 Representación Matemática
La señal analítica con las propiedades descritas arriba se obtiene mediante la siguiente ecuación:
\begin{equation} s_{a}(t) = s(t)+j\hat{s}(t) \end{equation}
\begin{equation} s_{a}^*(t) = s(t)-j\hat{s}(t) \end{equation}
Es prácticamente inmediato demostrar que se han eliminado las frecuencias negativas en la generación de la señal sa(t). Matemáticamente, aplicando (3) y (4) en (13) se obtiene que:
\begin{equation} S_a(f) = \begin{cases}S(f)+j[-jS(f)] =2S(f)&\text{for } f >0 \\ S(f)+j0 =S(f)&\text{for } f =0 \\ S(f)+j[jS(f)]=0 &\text{for } f<0 \end{cases} \end{equation}
De forma similar:
\begin{equation} S_a^*(f) = \begin{cases}0&\text{for } f >0 \\ S(f)&\text{for } f =0 \\ 2S(f) &\text{for } f<0 \end{cases} \end{equation}
3.2.1.2 Representación Espectral
A continuación se muestra un ejemplo representando el espectro de una señal paso banda real y su señal analítica:
La principal ventaja de la señal analítica es eliminar las frecuencias negativas de una señal real, que se pueden considerar superfluas debido a la simetría Hermítica. Al pasar a notación compleja se facilitan muchas manipulaciones matemáticas, especialmente en técnicas de modulación y demodulación. Tras el procesado de la aplicación correspondiente, tomar la parte real de la señal analítica post procesada permite obtener la señal real resultado con todas sus frecuencias, positivas y negativas.
3.2.2 Envolvente Compleja
La envolvente compleja se obtiene a partir de la señal analítica. Representa la señal banda base resultante de trasladar la señal analítica desde su frecuencia central hasta DC.
3.2.2.1 Representación Matemática
Para trasladar una señal paso banda desde una frecuencia central, sin crear réplicas adicionales, es necesario multiplicarla por un fasor de frecuencia. Asumiendo que la señal analítica está centrada en la frecuencia central ωc, la envolvente compleja se puede obtener mediante la siguiente operación:
\begin{equation} s_{a\downarrow}(t) = s_{a}(t)e^{-j\omega_c t} \end{equation}
\begin{equation} s_{a\uparrow}(t) = s_{a}^*(t)e^{j\omega_c t} \end{equation}
3.2.2.2 Representación Espectral
A continuación se muestra un ejemplo representando el espectro de una señal paso banda real y su envolvente compleja:
Se obtiene una ventaja muy importante con respecto a la señal analítica anterior: el ancho de banda de la señal se puede reducir notablemente. Por lo tanto el procesado de señal se puede realizar a una frecuencia de muestreo inferior. Sin embargo, recuperar la señal paso banda es más complejo porque también requiere volver a trasladar en frecuencia:
\begin{equation} s(t) = \real[s_{a}(t)] = \real[s_{a\downarrow}(t)e^{j\omega_c t}] \end{equation}
\begin{equation} s(t) = \real[s_{a}^*(t)] = \real[s_{a\uparrow}(t)e^{-j\omega_c t}] \end{equation}
Se proporcionan más detalles sobre la señal analítica y la envolvente compleja en este enlace. Y, en particular, la implementación de la envolvente compleja en aplicaciones de tiempo real se detalla en este enlace.
4. Conclusiones
Las conclusiones del texto son las siguientes:
- La transformada de Hilbert es un operador lineal que produce un desfase de -90º en las frecuencias (positivas) de una señal.
- El efecto de la transformada de Hilbert en el domino temporal depende del espectro de la señal. Mientras que en casos banda base cambia completamente el aspecto de la señal, en casos paso banda la envolvente de la señal permanece inalterada.
- La principal aplicación de la transformada de Hilbert en comunicaciones es la generación de señales espectralmente eficientes: señal de banda lateral única, señal analítica y envolvente compleja.
Bibliografía
[1] Communication Systems, A. Bruce Carlson.
[2] Signals and Systems, A. V. Openheim.
[3] Hilbert Transform in Signal Processing, Stephan Hahn.
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