La transformada de Fourier permite obtener los componentes que conforman una señal en el dominio transformado. En el caso más habitual, la transformada de Fourier de señales temporales proporciona las frecuencias (ω) que componen la señal. De forma equivalente, la transformada de Fourier espacial, aplicada sobre una señal definida en el espacio, proporciona sus componentes típicamente conocidos como números de onda (k). A veces también se denominan constantes de propagación (β).
Este artículo muestra la equivalencia de la transformada de Fourier espacial con la transformada de Fourier temporal. Además explica la aplicación de estas transformadas a señales propagándose, definidas simultáneamente en el espacio y en el tiempo.
El contenido se distribuye de acuerdo al siguiente índice:
1. Del Tiempo / Espacio a la Frecuencia / Número de Onda
La Transformada de Fourier descompone funciones en componentes periódicas sinusoidales (concretamente fasores). Por otra parte, una señal genérica que se propaga en un eje x a lo largo de un tiempo t se define mediante la función f(x,t). Dicha señal se puede descomponer en ondas doblemente periódicas en el espacio y en el tiempo, como se explica en este enlace. Por lo tanto se pueden obtener los dominios transformados de ambas variables por separado.
1.1 Transformada de Fourier Temporal
En comunicaciones típicamente se emplean señales temporales definidas en punto fijo del espacio, por ejemplo la entrada de un receptor xo. En efecto, la señal f(xo,t) solo depende la variable t, el tiempo.
La Transformada de Fourier \footnotesize \mathcal{F} de una señal temporal obtiene la representación de la señal en el dominio de la frecuencia (ω) tal que:
\begin{equation} f(t) \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} F(\omega) \end{equation}
1.2 Transformada de Fourier Espacial
De forma análoga es evidente que también se puede aplicar Fourier sobre señales definidas en el espacio, para un instante temporal fijo to. En este caso f(x,to) representa una foto fija en un instante de una señal que se está propagando por un medio.
La Transformada de Fourier espacial obtiene la representación de la señal en el dominio del número de onda (k) tal que:
\begin{equation} f(x) \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} F(k) \end{equation}
1.3 Equivalencia
1.3.1 Matemática
La analogía de ambos casos queda patente en el siguiente cuadro que muestra las matemáticas de la transformada de Fourier directa e inversa para señales espaciales y temporales:
| \footnotesize Notación | \footnotesize Directa (\mathcal{F}) | \footnotesize Inversa (\mathcal{F}^{-1}) |
|---|---|---|
| \footnotesize Tiempo (t) \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} Frecuencia (\omega) \footnotesize f(t) \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} F(\omega) | \footnotesize F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}\,dt | \footnotesize f(t) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega |
| \footnotesize Espacio (x) \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} Número de Onda (k) \footnotesize f(x) \xtofrom[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} F(k) | \footnotesize F(k) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-jkx}\,dx | \footnotesize f(x) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{jkx}\,dk |
Notar que, de acuerdo a la transformada inversa, las señales en el tiempo o en el espacio están formadas por una suma de fasores o componentes periódicas. Más concretamente, estas componentes son frecuencias para las señales temporales y números de onda para las señales espaciales. En cierto sentido se puede afirmar que los números de onda son las frecuencias que componen la señal en el dominio espacial.
1.3.2 Gráfica
Además, queda también patente que el par de variables (t,ω) es intercambiables por el par (x,k). En otras palabras, una función cualquiera produce las mismas componentes periódicas independientemente de si se define en el tiempo o en el espacio. Este efecto se muestra en la siguiente gráfica:
2. Aplicación a Propagación de Señales
La teoría de propagación de señales emplea la transformada de Fourier espacial y temporal de forma muy ilustrativa. Por ello, este apartado extiende los conceptos explicados arriba aplicándolos a señales propagadoras. Dichas señales se propagan en el tiempo t a lo largo de un eje x, y por lo tanto están definidas mediante una función f(x,t).
El análisis frecuencial de f(x,t) se puede realizar usando dos estrategias, que se explican a continuación. En ambos casos hay que tener en cuenta los siguientes conceptos:
- Frecuencias de la señal: f(x,t) está compuesta por ondas de diferentes amplitudes, frecuencias y fases. Obviando amplitud y desfase, cada componente frecuencial se rige por la expresión \footnotesize \cos(\omega t - k x) = \cos(kx -\omega t).
- Función de propagación: el medio de transmisión determina de forma implícita una función ω(k) o k(ω) para las frecuencias que componen la señal.
2.1 Evolución Temporal de la Transformada de Fourier Espacial
2.1.1 Planteamiento Matemático
En este caso se emplea la Transformada de Fourier espacial para definir la señal en el eje x en el origen de tiempos f(x,0). Empleando las transformadas directa e inversa:
\begin{equation} F(k) = \int_{-\infty}^\infty f(x,0)e^{-jkx}\,dx \end{equation}
\begin{equation} f(x,0) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{jkx}\,dk \end{equation}
Dada la doble periodicidad de las ondas en el espacio y en el tiempo, la evolución de la señal en el tiempo se obtiene añadiendo el desplazamiento frecuencial en la transformada inversa de Fourier. A partir de la ecuación (4) se obtiene que:
\begin{equation} f(x,t) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{j(kx-\omega(k)t)}\,dk \end{equation}
Esta metodología se empleó en este enlace para el cálculo genérico de la velocidad de grupo de una señal.
2.1.2 Representación Gráfica
La siguiente gráfica ilustra este análisis aplicado a la propagación de un pulso. Se observa que con este método se parte de la representación inicial de la señal en el espacio y, a continuación, se aplican los efectos de la propagación por el medio.
Esta técnica permite visualizar muy claramente el efecto de la transmisión en el eje x. Sin embargo, para que esta estrategia sea muy precisa se debe tener en cuenta el efecto del medio también durante la excitación/generación de la señal en el origen de tiempos f(x,0).
2.2 Evolución Espacial de la Transformada de Fourier Temporal
2.2.1 Planteamiento Matemático
En este caso se emplea la Transformada de Fourier temporal para definir la señal en un punto del espacio, típicamente el origen de la transmisión, durante el tiempo, f(0,t). Empleando las transformadas directa e inversa:
\begin{equation} F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(0,t)e^{-j\omega t}\,dt \end{equation}
\begin{equation} f(0,t) =\cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega \end{equation}
Debido a la doble periodicidad de las ondas en el espacio y en el tiempo, la evolución de la señal en el espacio se obtiene añadiendo el desplazamiento debido al número de onda en la transformada inversa de Fourier. A partir de la ecuación (7) se obtiene que:
\begin{equation} f(x,t) =\cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j(\omega t-k(\omega)x)}\,d\omega \end{equation}
Esta metodología se emplea típicamente para el cálculo de la dispersión en una fibra óptica [1].
2.2.2 Representación Gráfica
A continuación se ilustra este análisis aplicado a la propagación de un pulso. Con este método se parte de la representación inicial de la señal temporal en un punto del espacio y, a continuación, se aplican los efectos de la propagación por el medio.
Este método se puede considerar más preciso que el anterior, puesto que el efecto del medio se aplica a la señal desde el mismo instante de la transmisión en el origen.
3. Conclusiones
Las conclusiones de este artículo son las siguientes:
- La Transformada de Fourier espacial y la Transformada de Fourier temporal son equivalentes. Ambas descomponen una señal o función en componentes sinusoidales periódicas.
- Las componentes de la transformada temporal son las frecuencias (ω), mientras que las componentes de la transformada espacial son los números de onda (k).
- Estas transformada se aplican habitualmente en la teoría de propagación de señales.
- Existen dos estrategias para realizar el análisis transformado de señal propagadoras: evolución temporal de la transformada espacial inversa, o evolución espacial de la transformada temporal inversa.
Bibliografía
[1] Fiber-Optic Communication Systems, Govind P. Agrawal
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