La señal analítica es una representación compleja de una señal real, obtenida mediante la supresión de las componentes frecuenciales negativas de la señal original. A partir de la señal analítica se deriva la señal banda base equivalente, representación también analítica conocida como envolvente compleja. Ambas representaciones se emplean en técnicas de procesado de señal debido a sus principales ventajas: la eficiencia espectral y la capacidad para obtener la envolvente y fase instantáneas de una señal.
El texto está organizado con los siguientes contenidos. En primer lugar se definen la señal analítica y la envolvente compleja, tanto de forma matemática como gráfica. A continuación se repasan las aplicaciones de ambas representaciones explicando sus principales ventajas. Finalmente se derivan las conclusiones fundamentales del texto. De forma global, el índice es el siguiente:
1. Definición de la Señal Analítica
En este apartado se definen la señal analítica y la envolvente compleja tanto de forma gráfica como de forma matemática. Para una correcta comprensión del texto se recomienda repasar la Transformada de Hilbert, explicada en detalle en este enlace.
1.1 Representación Espectral
La siguiente imagen muestra el espectro de una señal real paso banda genérica s(t), y los espectros de sus correspondientes representaciones complejas asociadas: señal analítica sa(t) y envolvente compleja sa↓(t).
Se observa que en la señal analítica sa(t) se han suprimido las componentes frecuenciales negativas. Por otra parte, la envolvente compleja sa↓(t) se obtiene mediante una traslación de frecuencias de sa(t) para convertirse en una representación banda base.
Mientras que el espectro de la señal original es hermítico, puesto que se obtiene a partir de una señal real [1] [2], los espectros de las señales analíticas complejas no presentan hermiticidad. En otras palabras, el módulo de los espectros de las señales analíticas no son simétricos en torno al cero.
Finalmente, indicar que también es posible obtener las señales analíticas correspondientes a las frecuencias negativas, suprimiendo las positivas. Para ello es necesario partir de la señal analítica conjugada, como se detalla en este enlace.
1.2 Demostración Matemática
1.2.1 Señal Analítica Paso Banda
Dada una señal real paso banda s(t), la señal analítica se obtiene mediante la siguiente ecuación:
\begin{equation} s_{a}(t) = s(t)+j\hat{s}(t) \end{equation}
Donde \footnotesize \hat{s}(t) representa la Transformada de Hilbert de s(t) [3].
Además, como se mostrará debajo, también presenta propiedades relevantes la variante conjugada de la señal analítica:
\begin{equation} s_{a}^*(t) = s(t)-j\hat{s}(t) \end{equation}
Resulta prácticamente inmediato demostrar que en la señal analítica sa(t) se han eliminado las frecuencias negativas de la señal original:
\begin{equation} S_a(f) = \begin{cases}S(f)+j[-jS(f)] =2S(f)&\text{for } f >0 \\ S(f)+j0 =S(f)&\text{for } f =0 \\ S(f)+j[jS(f)]=0 &\text{for } f<0 \end{cases} \end{equation}
Igualmente, en el caso de la señal analítica conjugada se han eliminado las frecuencias positivas:
\begin{equation} S_a^*(f) = \begin{cases}0&\text{for } f >0 \\ S(f)&\text{for } f =0 \\ 2S(f) &\text{for } f<0 \end{cases} \end{equation}
Aunque no resulte muy intuitivo, a partir de la señal analítica, definida en (1) y (2), se puede recuperar la señal original incluyendo sus frecuencias suprimidas simplemente tomando la parte real:
\begin{equation} s(t) = \Re{[s_{a}(t)]} = \Re{[s_{a}^*(t)]} \end{equation}
Esta última propiedad resulta muy relevante. Implica que el procesado de sistemas lineales [1] [2] se puede realizar con las representaciones analíticas de las señales y filtros involucrados. Basta con tomar la parte real de la señal resultante para obtener el mismo resultado que se hubiera obtenido con las señales y filtros originales.
1.2.2 Envolvente Compleja Banda Base
Como se ha ilustrado en la imagen de arriba, la envolvente compleja se obtiene al trasladar la señal analítica desde su frecuencia central hasta DC. Para poder trasladar el espectro de este modo, sin crear réplicas adicionales, hay que multiplicar su señal en el dominio del tiempo por el fasor localizado en la frecuencia central ωc [1] tal que:
\begin{equation} s_{a\downarrow}(t) = s_{a}(t)e^{-j\omega_c t} \end{equation}
\begin{equation} s_{a\uparrow}(t) = s_{a}^*(t)e^{j\omega_c t} \end{equation}
Recuperar la señal original desde la envolvente compleja es más complicado, porque también requiere volver a trasladar en frecuencia:
\begin{equation} s(t) = \real[s_{a}(t)] = \real[s_{a\downarrow}(t)e^{j\omega_c t}] \end{equation}
\begin{equation} s(t) = \real[s_{a}^*(t)] = \real[s_{a\uparrow}(t)e^{-j\omega_c t}] \end{equation}
Esta última propiedad también es muy relevante en el procesado digital de señal. En sistemas lineales [1] [2] se pueden realizar todos los cálculos usando las variantes analíticas banda base de las señales y filtros involucrados. Posteriormente, la señal paso banda resultante se obtendría trasladando de vuelta a la frecuencia central y tomando la parte real.
2. Envolvente y Fase Instantánea
En general, con la señal analítica se obtienen todas las ventajas asociadas a la representación en el plano complejo. Algo especialmente notorio al tratar con modulaciones, demodulaciones y señales de comunicaciones.
En esta sección se muestra tanto matemáticamente como con ejemplos gráficos una importante propiedad asociada a la notación compleja y, en consecuencia, a la señal analítica. Más en concreto, la representación compleja tiene la capacidad inherente de discernir fácilmente la envolvente y la fase instantáneas de una señal real paso banda. También la potencia puesto que está relacionada directamente con la envolvente. A continuación se particulariza esta propiedad de forma individual tanto para la señal analítica como para la envolvente compleja. Además se muestra un vídeo que ilustra este procesado con un ejemplo realista.
2.1 Señal Analítica
En primer lugar se parte de la señal analítica paso banda de la ecuación (1), escribiéndola en función de su módulo y fase:
\begin{equation} s_{a}(t) = |s_{a}(t)|e^{j [\arg(s_{a}(t))]} \end{equation}
Donde:
\begin{equation} |s_{a}(t)| = \sqrt{s^2(t)+\hat{s}^2(t)} \end{equation}
\begin{equation}\arg(s_{a}(t)) = \arctan{\left(\frac{\hat{s}(t)}{s(t)}\right)}\end{equation}
A partir de la propiedad de la ecuación (5), y desarrollando la fórmula de Euler en (10), se deduce que:
\begin{equation} s(t) = |s_{a}(t)|\cos{\left[\arg(s_{a}(t))\right]} \end{equation}
Por lo tanto, queda demostrado que la envolvente y la fase instantáneas de la señal s(t) son iguales respectivamente al módulo y fase de la señal analítica sa(t).
2.2 Envolvente Compleja
A continuación se realizan los cálculos equivalentes de envolvente y fase instantáneas de s(t) a partir de la envolvente compleja.
En primer lugar se desea obtener la envolvente compleja en términos de su módulo y fase:
\begin{equation} s_{a\downarrow}(t) = |s_{a\downarrow}(t)|e^{j [\arg(s_{a\downarrow}(t))]} \end{equation}
A partir de la ecuación (6), reemplazando la señal analítica con el resultado obtenido en (10), se deduce que:
\begin{equation} s_{a\downarrow}(t) = |s_{a}(t)|e^{j [\arg(s_{a}(t))]}e^{-j\omega_c t} \end{equation}
Donde, comparando (14) y (15), se obtiene que:
\begin{equation} |s_{a\downarrow}(t)| = |s_{a}(t)| \end{equation}
\begin{equation}\arg(s_{a\downarrow}(t)) = -\omega_c t + \arg(s_{a}(t)) \end{equation}
Dado que la envolvente de la señal analítica y la envolvente compleja es la misma, la única diferencia está en la fase. Desarrollando (13) con el resultado de (17) se obtiene que:
\begin{equation} s(t) = |s_{a\downarrow}(t)|\cos{\left[\omega_c t +\arg(s_{a\downarrow}(t))\right]} \end{equation}
Por lo tanto, comparando (13) y (18) se observa que a diferencia de la envolvente compleja, la fase de la señal analítica incluye la portadora. En otras palabras, la envolvente compleja incorpora la versión banda base del desfase instantáneo de la señal original.
2.3 Ejemplo Práctico
A continuación se generalizan las conclusiones anteriores para el caso práctico de las modulaciones en cuadratura. También se muestra un ejemplo en movimiento para ilustrar la evolución de envolvente y fase de ambas señales analíticas dentro de la modulación.
2.3.1 Modulación en Cuadratura
Dadas dos señales banda base i(t) y q(t), que modulan una portadora en fase y cuadratura respectivamente, se obtiene la señal paso banda original como:
\begin{equation} s(t) = i(t)\cos{\left(\omega_c t \right)} + q(t)\sin{\left(\omega_c t \right)} \end{equation}
Su Transformada de Hilbert es:
\begin{equation} \hat{s}(t) = i(t)\sin{\left(\omega_c t \right)} - q(t)\cos{\left(\omega_c t \right)} \end{equation}
La señal analítica asociada se obtiene con la ecuación (1) y, tras realizar varias manipulaciones y despejar la fórmula de Euler, se deduce que:
\begin{equation} s_{a}(t) = [i(t) - jq(t)]e^{j\omega_c t} \end{equation}
Por último, la envolvente compleja asociada, definida en (6), produce el siguiente resultado:
\begin{equation} s_{a\downarrow}(t) = [i(t) - jq(t)] \end{equation}
Se aprecia como señal analítica y envolvente compleja son representaciones paso banda y banda base de la señal original en el plano complejo. Notar también que el desfase de 180º asociado a la señal q(t) no es relevante, puesto que la recuperación de la señal original con (5) u (8) es independiente de este desfase.
2.3.2 Constelación en Movimiento
El siguiente video muestra un ejemplo de señal paso banda en cuadratura y sus representaciones complejas analíticas. Por simplicidad, y sin perder generalidad, el período de la portadora es igual a la duración de un símbolo.
Gráficamente se pueden observar las deducciones anteriores. En primer lugar, el módulo de las señales analíticas coincide con la envolvente de la señal paso banda. Asimismo, la fase de la señal analítica es equivalente a la fase de la señal paso banda. Finalmente, la envolvente compleja es solo una representación banda base, que se puede ver como un fasor sofisticado puesto que su envolvente y desfase instantáneos evolucionan con el tiempo.
3. Procesado de Sistemas Lineales
La señal analítica es una representación espectralmente eficiente de una señal real paso banda. Esta propiedad se debe a que se han eliminado frecuencias que se pueden considerar superfluas debido a la simetría hermítica del espectro de una señal real. A continuación se explica didácticamente cómo se traduce esta propiedad en ventajas para el procesado de sistemas lineales.
3.1 Procesado con Señales Reales
Se parte de un sistema lineal LTI donde si(t) representa la señal de entrada y so(t) representa la señal de salida. El comportamiento del sistema viene definido por su respuesta impulsional h(t). Con los datos anteriores, el procesado de señal del sistema se puede representar en el dominio de la frecuencia. A modo de ejemplo se utilizan los siguientes espectros:
Para la aplicación convencional con señales reales, se obtienen espectros con simetría hermítica. Notar que las imágenes de los espectros muestran únicamente los módulos y no las fases por simplicidad.
3.2 Procesado con Señal Analítica
En términos teóricos y prácticos, el procesado de señal de un sistema lineal también se puede realizar con las variantes analíticas de las señales y filtros reales. En ese sentido es importante recalcar que la representación analítica del filtro que describe el sistema, ha(t), a veces se denomina filtro en cuadratura.
Como se ilustra en la imagen anterior, el procesado espectral equivalente consistiría en emplear sólo los espectros positivos. (O sólo los negativos, aunque esa estrategia no se muestra en el ejemplo). Notar que el mismo resultado se obtendría partiendo de si(t) en su versión real, o incluso empleando si(t) en su versión analítica y el filtro h(t) en su versión real.
De cualquier manera la señal resultante so(t) es la misma que la obtenida con el procesado de señales reales. Para ello, en un último paso se debe aplicar nuevamente la ecuación (5) adaptada a este caso:
\begin{equation} s_o(t) = \real[s_{oa}(t)] \end{equation}
La estrategia mostrada en este apartado se emplea típicamente en desarrollos teóricos de procesado de señal, como por ejemplo en teoría de circuitos lineales [4]. Sin embargo, esta estrategia no resulta efectiva para procesado de señal en tiempo real. En la práctica requiere dos flujos de datos de señal (real e imaginario) con elevados ancho de banda y frecuencia de muestreo, puesto que se emplean señales paso banda. Esta cuestión se soluciona empleando la envolvente compleja, como se detalla a continuación.
3.3 Procesado con la Envolvente Compleja
Como se muestra en este apartado, el procesado de sistemas lineales mediante la envolvente compleja permite conseguir simultáneamente importantes ventajas.
En primer lugar, se consigue procesar el espectro paso banda original, sin la penalización asociada a una conversión a señal banda base real. En segundo lugar, el procesado se puede realizar con la tasa de muestreo correspondiente a una señal banda base, más bajo que para la señal paso banda. Finalmente, se obtienen todas las ventajas asociadas a la notación compleja, como se ha explicado en el apartado 2.
De los conceptos explicados en este apartado se deriva la relevancia de la envolvente compleja en las técnicas de procesado digital de la señal (DSP) [5] en cualquier aplicación final. Un caso especialmente relevante es el DSP en aplicaciones de tiempo real. Notar que este apartado muestra estos conceptos de forma teórica. Más detalles sobre la implementación práctica de la envolvente compleja se suministran en este enlace.
3.3.1 Conversión Paso Banda a Banda Base
La conversión real de una señal paso banda a banda base implica una importante penalización. Debido a la hermiticidad de la señal, el espectro negativo y el positivo se solapan en la conversión. Este efecto es ilustrado en la siguiente imagen.
Queda patente que la superposición impide recuperar el espectro de la señal paso banda original que se pretendía procesar. Sin embargo, al emplear la envolvente compleja, sí que se obtiene una representación del espectro paso banda real sin solapes.
3.3.2 Inferior Frecuencia de Muestreo
El siguiente paso consiste en adaptar el procesado que se ha mostrado arriba con señales reales y/o analíticas. La siguiente imagen muestra el esquema completo equivalente implementado mediante la envolvente compleja:
Al realizar el procesado del sistema con la envolvente compleja, señal de espectro banda base, los datos pueden muestrearse a una velocidad inferior. Si la señal paso banda original tiene un ancho de banda B Hz (B=Δf en la figura), su frecuencia mínima de muestreo será igual a 2B Hz (asumiendo una conversión en frecuencia implícita). Sin embargo, al emplear la envolvente compleja, cada uno de las cadenas de datos (real e imaginaria) tienen un ancho de banda de B/2 Hz y, por tanto, su frecuencia de muestreo se puede reducir a B Hz.
3.3.3 Señal Paso Banda Resultante
Una vez finalizado el procesado del sistema, la señal paso banda real equivalente se obtiene adaptando la ecuación (8) a este caso:
\begin{equation} s_o(t) = \real[s_{oa\downarrow}(t)e^{j\omega_c t}] \end{equation}
Obviamente, este paso solo es necesario cuando el sistema lineal requiera una salida paso banda real. Existen numerosas aplicaciones, como un demodulador, en la que el procesado de la envolvente compleja no implica una reconstrucción posterior. Asimismo, en algunos casos, también se pueden aplicar procesados no lineales sobre la señal analítica y la envolvente compleja.
4. Resumen de la Señal Analítica
Las principales conclusiones sobre la señal analítica son las siguientes:
- La señal analítica, incluida la envolvente compleja, es una representación compleja asociada a una señal real.
- Dada una señal real, su señal analítica asociada es una representación espectralmente eficiente porque se suprimen las frecuencia negativas y superfluas de la señal original.
- La envolvente compleja es la representación banda base de la señal analítica.
- Matemáticamente, las señales analíticas se obtienen a partir de la señal real original y de su Transformada de Hilbert.
- La parte real de la señal analítica permite recuperar la señal original asociada. En el caso de la envolvente compleja, es necesario realizar previamente una traslación compleja en frecuencia.
- La señal analítica permite obtener la envolvente y la fase instantáneas de la señal paso banda original.
- El procesado de sistemas lineales LTI se puede simplificar mediante el uso de las versiones analíticas de las señales.
- Mediante la envolvente compleja se puede procesar un espectro originalmente paso banda, reduciendo simultáneamente la frecuencia de muestreo. Por ello, es un concepto fundamental en DSP [5].
Bibliografía
[1] Communication Systems, A. Bruce Carlson.
[2] Signals and Systems, A. V. Openheim.
[3] Hilbert Transform in Signal Processing, Stephan Hahn.
[4] Circutios Eléctricos, James Nilsson.
[5] Understanding Digital Signal Processing, Richard Lyons.
[6] Cursos de Procesado de Señal
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