Este artículo repasa la teoría del oscilador de puente de Wien. Escrito para apoyar sus propios proyectos prácticos por Basin Street Design.
Aquí está el famoso circuito oscilador de puente de Wien [1]. Esta imagen ha sido robada descaradamente de algún lugar de internet y modificada para mis propósitos:
El oscilador funciona enviando parte de su salida a través de la red RC (R1, R3, C1, C2) de vuelta a la entrada no inversora del op-amp (V+). La ganancia del op-amp, programada por las resistencias R2 y R4, recupera el nivel de señal perdido de forma que la ganancia del bucle es exactamente la unidad. La frecuencia variable se establece variando C1 y C2 simultáneamente de forma equivalente, pero podría producirse con la misma facilidad variando del mismo modo R1 y R3.
En pocas palabras, el amplificador amplifica su propia salida. Se puede demostrar que, idealmente, el amplificador necesita tres cosas para oscilar:
- un filtro de retroalimentación (´feedback´) que prefiera una sola frecuencia sobre todas las demás.
- un retardo de tiempo cero (desplazamiento de fase) a través de ese filtro en esa frecuencia.
- una ganancia exacta para superar la atenuación de la señal a través de dicho filtro. En el ejemplo una ganancia de exactamente 3 para compensar la atenuación de la retroalimentación (1/3).
1. Filtro de Realimentación
Esta sección muestra la respuesta en frecuencia del filtro de realimentación utilizado, que es la habitual red RC en serie y RC en paralelo. El hecho de que este filtro sea pasobanda cumple la condición de selectividad en frecuencia escrita anteriormente.
1.1 Función de Transferencia
Primero, derivaré la fracción de señal de salida que se encuentra en el punto medio de la red RC (V+) cuando está en resonancia. Por ahora supondré que todos los valores de los componentes están separados y son distintos. Se encuentra de la misma manera que un divisor de tensión convencional. La función de transferencia en la entrada no inversora del amplificador operacional es la relación de la impedancia desde ese punto a tierra dividida por la suma de impedancias desde la fuente a tierra. En este caso y utilizando las expresiones de Laplace para la reactancia capacitiva, 1/sC, esta fracción es:
\begin{equation} \cfrac{V_+}{V_{out}} = \cfrac{\cfrac{\cfrac{1}{sC_1}R_1}{\cfrac{1}{sC_1}+R_1}}{\cfrac{\cfrac{1}{sC_1}R_1}{\cfrac{1}{sC_1}+R_1}+\cfrac{1}{sC_2}+R_3} \end{equation}
La ecuación anterior puede simplificarse como sigue:
\begin{equation} \cfrac{V_+}{V_{out}} = \cfrac{\cfrac{s}{R_3C_1}}{s^2+\left(\cfrac{1}{R_3C_1}+\cfrac{1}{R_3C_2}+\cfrac{1}{R_1C_1}\right)s+\cfrac{1}{C_1C_2R_1R_3}} \end{equation}
Utilizando valores iguales de resistencias y condensadores en el filtro de realimentación:
\begin{equation} H(s)=\cfrac{V_+}{V_{out}}\Bigr|_{\substack{ \\ \\ R_1=R_3=R \\ \\ C_1=C_2=C}} = \cfrac{\cfrac{s}{RC}}{s^2+\cfrac{3}{RC}s+\cfrac{1}{C^2R^2}} \end{equation}
1.2 Forma Canónica
En las formas canónicas de los filtros activos y los sistemas de control, la función de transferencia puede representarse, respectivamente, como sigue:
\begin{equation} H(s)= K\cfrac{s}{s^2+\cfrac{\omega_p}{Q_p}s+\omega_p^2} \end{equation}
\begin{equation} H(s)= K\cfrac{s}{s^2+2\zeta\omega_ps+\omega_p^2} \end{equation}
Donde:
- K es una constante arbitraria.
- \footnotesize\omega_p es la frecuencia natural.
- \footnotesize Q_p es el factor de calidad.
- \footnotesize\zeta es el factor de amortiguación.
Comparando las ecuaciones (4) y (5) con (3), se puede deducir que:
\begin{equation} \omega_p=\cfrac{1}{RC} \end{equation}
\begin{equation} Q_p=\cfrac{\omega_pRC}{3}=\frac{1}{3} \end{equation}
\begin{equation} \zeta=\cfrac{3}{2\omega_pRC}=\frac{3}{2} \end{equation}
1.3 Frecuencia Central
Para encontrar la frecuencia central \footnotesize\omega_o del filtro de realimentación pasobanda, se calcula la magnitud de la función de transferencia:
\begin{equation} H(\omega)=H(s)\Bigr|_{s=j\omega} \end{equation}
\begin{equation} |H(\omega)|= \cfrac{\cfrac{\omega}{RC}}{\sqrt{\left(\cfrac{1}{R^2C^2}-\omega^2\right)^2+\left(\cfrac{3\omega}{RC}\right)^2}} \end{equation}
El punto máximo de la magnitud se encuentra diferenciando con respecto a \footnotesize\omega y ajustando el resultado a cero:
\begin{equation} \cfrac{\partial |H(\omega)|}{\partial \omega}= 0 \rArr \omega_o = \cfrac{1}{RC} \end{equation}
Aproximadamente, utilizando R=10kΩ y C=159 nF, la frecuencia central es de 100 Hz y la magnitud de la función de transferencia es de 1/3. Como se ilustra en el siguiente gráfico:
Por lo tanto, la atenuación a través del filtro en la frecuencia central es exactamente 2/3. En consecuencia, sólo queda 1/3 de la señal para ser aplicada de nuevo a la entrada del op-amp (OA). Por lo tanto, la ganancia del op-amp debe ser 3 para compensarlo exactamente.
Obsérvese que la fase en la frecuencia central/resonante es cero. De modo que también se cumple la condición de retardo cero entre la salida y la tensión de retroalimentación.
2. Oscilación de Baja Distorsión
2.1 Oscilador de Puente de Wien No Balanceado
Siguiendo con el ejemplo anterior, en la frecuencia central el nivel de la señal en el punto medio del puente es 1/3 del de la salida. Por lo tanto, la ganancia aplicada por R2 y R4 debe ser al menos 3 para mantener la oscilación. En cualquier otra frecuencia, la atenuación sería excesiva y no se produciría la oscilación. Si la ganancia fuera superior a 3, el nivel de la señal crecería hasta que se produjera la distorsión. Dado que los productos de la distorsión serían atenuados más fuertemente a través de la red RC, se desalentaría el crecimiento de la señal y distorsión adicional. Por lo tanto, R4/R2 = 2 para mantener la oscilación.
Se puede ver fácilmente que cuanto mayor sea la ganancia, mayor será la distorsión. El nivel de la señal fundamental seguirá siendo el mismo, pero todos los productos de distorsión serán mayores. Para una distorsión mínima, la ganancia debe ser ajustada para estar lo más cerca posible de 3. Normalmente se utiliza una resistencia controlada por el nivel de la señal de salida para R4 o R2 para lograr esto.
2.2 Oscilador de Puente de Wien Balanceado
Pero hay más de una forma de construir el puente. En lugar de la primera forma, que utiliza la tensión de salida para hacer oscilar la parte superior del par RC en serie positivo y negativo y luego tomar 1/3 de esa señal positiva/negativa a la entrada del opamp, también se puede hacer con un segundo op-amp.
Esta es una versión balanceada del oscilador de puente de Wein [2]. Los números marcados con un círculo representan los nodos. Ambos op-amps tienen sus entradas cerca de 0V para eliminar la distorsión de modo común en cada uno. La salida oscilante puede tomarse del nodo 4 o del nodo 5:
La matemática de este esquema es similar a la de arriba. Las dos salidas del amplificador operan en contrafase entre sí. Como en el caso anterior, la frecuencia de resonancia viene dada por la ecuación (11). Asumiendo de nuevo R1=R3=R y C1=C2=C, del análisis del filtro de realimentación anterior se deriva directamente que V4=-V5/2. Así que la ganancia de magnitud de U5 sólo necesita ser 2 para mantener la oscilación. Por lo tanto R9/R2 = 2.
El concepto clave es que los dos op-amps conducen los extremos de la cadena en serie-paralelo de pares RC y mantiene el punto medio a 0V. Esto hace una cosa muy buena: evita que la entrada de cualquiera de los op-amps se balancee hacia arriba y hacia abajo. Esto es bueno ya que las corrientes de polarización, las impedancias de entrada de esos op-amps son una función del voltaje de modo común al que operan. El cambio de las corrientes de polarización de entrada, etc. cambia las características del amplificador operacional y esto causa distorsión. Una pequeña cantidad, pero esa pequeña cantidad impediría que el oscilador tuviera cifras de distorsión mucho más bajas que el 0,1%.
En este enlace se puede encontrar una implementación real del oscilador de puente de Wien balanceado.
Anexo: Impedancias de carga del OP-AMP
Este es un cálculo sencillo para mostrar cuál sería la carga del amplificador operacional. Supone que todas las resistencias y condensadores de los filtros de realimentación son iguales a R y C respectivamente.
A.1 Oscilador de Puente de Wien No Balanceado
La impedancia de carga en la que trabaja el oscilador se puede expresar de la siguiente manera. Aquí asumo que el combo R4, R2 representa una carga adicional despreciable:
\begin{equation} Z_o(s) = R + \cfrac{1}{sC} + \cfrac{R\cfrac{1}{sC}}{R+\cfrac{1}{sC}} = \cfrac{s^2R^2C^2 + 3sRC + 1}{sC(1+sRC)}\end{equation}
El módulo de esta carga es:
\begin{equation} |Z_o(\omega)|= \cfrac{\sqrt{(1-\omega^2R^2C^2)+(3\omega RC)^2}}{\sqrt{(\omega^2RC^2)^2 + (\omega C)^2}} \end{equation}
En resonancia:
\begin{equation} |Z_o(\omega)|\Bigr|_{\substack{ \\ \\ \omega_o = \frac{1}{RC}}} = \sqrt{\cfrac{9}{\cfrac{1}{R^2}+\cfrac{1}{R^2}}} = \cfrac{3R}{\sqrt{2}} \end{equation}
A.2 Oscilador de Puente de Wien Balanceado
La impedancia de carga en la que trabaja el oscilador balanceado se puede expresar de la siguiente manera. Aquí asumo que el combo R9, R2 representa una carga adicional despreciable:
\begin{equation} Z_{o4}(s) =\cfrac{R\cfrac{1}{sC}}{R+\cfrac{1}{sC}} = \cfrac{R}{1+sRC}\end{equation}
\begin{equation} Z_{o5}(s) =R + \cfrac{1}{sC} = \cfrac{1+sRC}{sC}\end{equation}
Los módulos de estas cargas son:
\begin{equation} |Z_{o4}(\omega)|= \cfrac{R}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \end{equation}
\begin{equation} |Z_{o5}(\omega)|= \cfrac{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}{\omega C} \end{equation}
En resonancia:
\begin{equation} |Z_{o4}(\omega)|\Bigr|_{\substack{ \\ \\ \omega_o = \frac{1}{RC}}} = \cfrac{R}{\sqrt{2}} \end{equation}
\begin{equation} |Z_{o5}(\omega)|\Bigr|_{\substack{ \\ \\ \omega_o = \frac{1}{RC}}} = \sqrt{2}R \end{equation}
Bibliografía:
[1] Jim Williams, “Max Wien, Mr. Hewlett, and a rainy Sunday afternoon,” in Analog Circuit Design: Art, Science, and Personalities, Jim Williams, Ed. Boston: Butterworth-Heinemann, 1991, ch. 7, pp. 43–55.
[2] J. L. Linsley Hood, “New way of using Wien network to give 0.001% t.h.d” in Wireless World May 1981, pp 51-53
Sobre el autor:
B. Ap. Sci. (EE), 1977 Universidad de Waterloo, ingeniero, emprendedor, retirado.
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