Este artículo repasa la teoría y la práctica del filtro notch (elimina banda) de Bainter. Escrito y desarrollado por Basin Street Design.
Este análisis examina la eficacia de un filtro notch Bainter, basado en el circuito Bainter que se ve en la figura siguiente [1]. Se pueden realizar respuestas de paso bajo, paso alto y notch estándar. La siguiente imagen muestra el esquema del circuito:
Primero, encontraremos la función de transferencia [2] en función de los valores R y C. Posteriormente se explica el proceso de diseño y ajuste del filtro notch.
1. Diagrama de Bloques del Filtro Notch de Bainter
El filtro notch de Bainter se compone de bloques de circuitos sencillos con un bucle de retroalimentación y otro de alimentación. Este circuito puede dividirse en los bloques de ganancia K1, K2, K3 y K4 y representarse con la siguiente arquitectura de sistema:
Donde las diferentes ganancias constantes K pueden ser calculadas como:
\begin{equation} K_1=\cfrac{-R_2}{R_6} \end{equation}
\begin{equation} K_2=\cfrac{R_7+R_8}{R_8} \end{equation}
\begin{equation} K_3= \cfrac{\cfrac{R_5R_4}{R_5+R_4}}{\cfrac{1}{sC_2}+\cfrac{R_5R_4}{R_5+R_4}} \end{equation}
\begin{equation} K_4 =\cfrac{-1}{sC_1} \cfrac{\cfrac{\cfrac{R_5}{sC_2}}{R_5+\cfrac{1}{sC_2}}}{R_4+\cfrac{\cfrac{R_5}{sC_2}}{R_5+\cfrac{1}{sC_2}}} \end{equation}
K4 se multiplica por 1/R1 o 1/R3 dependiendo de la fuente de la señal que lo atraviesa, ya sea V1 o Vout, respectivamente. Por lo tanto, desde el diagrama de bloques:
\begin{equation} V_{out} = K_2\left(\cfrac{K_1K_4}{R_1}V_{in}+K_3V_{in}+\cfrac{K_4}{R_3}V_{out}\right) \end{equation}
2. Función de Transferencia del Filtro Notch de Bainter
Reordenando la ecuación anterior se obtiene la función de transferencia:
\begin{equation} H(s)=\cfrac{V_{out}}{V_{in}} = \cfrac{R_3}{R_1}\cfrac{K_2(K_4K_1+K_3R_1)}{(R_3-K_2K_4)}\end{equation}
Sustituyendo K3 (ecuación (3)) y K4 (ecuación (4)) de uno en uno (usando el comando «Substitute» de Mathcads) y luego simplificando con la función «Simlify» de Mathcads:
\begin{equation} H(s)= -R_3K_2R_5\cfrac{K_1-R_4s^2C_2R_1C_1}{R_1(R_3s^2C_1C_2R_4R_5+R_3sC_1R_4+R_3sC_1R_5+K_2R_5)}\end{equation}
Por último, asigno esta expresión a H(s) tras una nueva simplificación manual:
\begin{equation} H(s) = K_2\cfrac{s^2-\cfrac{K_1}{R_4R_1C_1C_2}}{s^2+\cfrac{1}{C_2}\left(\cfrac{1}{R_5}+\cfrac{1}{R_4}\right)s+\cfrac{K_2}{C_1C_2R_3R_4}} \end{equation}
El módulo de la función de transferencia es:
\begin{equation} H(\omega)=H(s)\Bigr|_{s=j\omega} \end{equation}
\begin{equation} |H(\omega)|= K_2\cfrac{\left|-\omega^2 + \cfrac{-K_1}{R_4R_1C_1C_2}\right|}{\sqrt{\left(\cfrac{K_2}{R_3R_4C_1C_2}-\omega^2\right)^2+\left[\cfrac{\omega}{C_2}\left(\cfrac{1}{R_4}+\cfrac{1}{R_5}\right)\right]^2}} \end{equation}
El numerador de la ecuación anterior indica claramente la existencia de una frecuencia notch. Los cálculos generales y los parámetros obtenidos a partir de la función de transferencia se presentan en la siguiente sección.
3. Configuración de Filtro Notch
3.1 Frecuencia de Notch
La función módulo (ecuación 10) elimina la frecuencia donde el valor del numerador llega a cero, dada por:
\begin{equation} f_{notch}= \cfrac{1}{2\pi}·\sqrt{\left(\cfrac{|K_1|}{R_1R_4C_1C_2}\right)} \end{equation}
Además, la función de transferencia puede escribirse como la forma canónica de un filtro activo:
\begin{equation} H(s) = K\cfrac{s^2+s\cfrac{\omega_z}{Q_z}+\omega_z^2}{s^2+s\cfrac{\omega_p}{Q_p}+\omega_p^2} \end{equation}
Donde:
· \footnotesize \omega_z es la frecuencia del cero.
· \footnotesize \omega_p es la frecuencia del polo.
· \footnotesize Q_z es el factor de calidad del cero.
· \footnotesize Q_p es el factor de calidad del polo.
Comparando la ecuación (8) con la ecuación (12) se puede derivar que:
\begin{equation} f_{p}= \cfrac{1}{2\pi}·\sqrt{\left(\cfrac{K_2}{R_3R_4C_1C_2}\right)} \end{equation}
\begin{equation} Q_{p}= \cfrac{R_4R_5}{R_4+R_5}·\sqrt{\left(\cfrac{K_2C_2}{R_3R_4C_1}\right)} \end{equation}
3.2 Equilibrado del Filtro Notch
La ganancia de DC y la ganancia de alta frecuencia pueden calcularse como sigue:
\begin{equation} |g_{DC}| = |H(\omega)|\Bigr|_{\substack{ \\ \\ \omega = 0}} = -K_1\cfrac{R_3}{R_1} = |K_1|\cfrac{R_3}{R_1} \end{equation}
\begin{equation} |g_{HF}| = |H(\omega)|\Bigr|_{\substack{ \\ \\ \omega\to \infty}} = K_2 \end{equation}
Para obtener un filtro notch simétrico, las ganancias de baja y alta frecuencia deben estar equilibradas como se muestra a continuación:
\begin{equation} |g_{DC}| = |g_{HF}| \rArr \cfrac{R_3}{R_1}=\cfrac{K_2}{|K_1|} \end{equation}
Obsérvese que, una vez equilibrada, la frecuencia del notch (ecuación 11) coincide con la frecuencia del polo (ecuación 13). Para simplificar, consideraremos el siguiente caso:
\begin{equation} |K_1| = K_2 = 1 \rArr R_1 = R_3 \end{equation}
De este modo, la ganancia del sistema es unitaria en todas las frecuencias, excepto alrededor del notch. Y el ancho de banda del notch viene dado por el factor de calidad del polo.
3.3 Ajuste de Frecuencia / Ancho de Banda del Notch
En las condiciones anteriores, a partir de la ecuación 11, la frecuencia del notch se puede ajustar con R3, R4, C1 y C2. En consecuencia, para cambiar la frecuencia del notch en 10:1, el valor de cualquiera de ellos debe cambiarse en 100:1 o cualquier par en 10:1 cada elemento del par. Entonces, a partir de la ecuación 14, el factor de calidad puede ajustarse independientemente con R5.
El siguiente ejemplo muestra la sintonía de frecuencia conseguida con R4 en pasos de 10K:
Notar K1=-1, K2≈1.
R4 ajustado de 100K a 10K en pasos de 10K.
El ancho de banda del notch se ajusta con R5, como se muestra en la siguiente figura:
Obtenido con los mismos valores de la figura anterior para R4=100K.
El máximo factor de calidad alcanzable, asociado a la mayor selectividad, puede derivarse de la ecuación 14 suponiendo que R5 tiende a circuito abierto:
\begin{equation} Q_{p_{max}}=Q_p\Bigr|_{R_5\to\infin} = \sqrt{\left(\cfrac{K_2R_4C_2}{R_3C_1}\right)} \end{equation}
Por lo tanto, las frecuencias de notch más bajas (R4 más alto) permiten una mayor selectividad (factor de calidad más alto).
4. Implementación Filtro Notch de Bainter
4.1 Esquema
Este es el esquema del circuito notch de Bainter que construí:
Incluye un atenuador de 0,-20, -40 dB en la entrada, un buffer de entrada y una impedancia de salida de 75 Ohm para conectar un cable de 75 Ohm. Hay cuatro rangos de frecuencia conmutados. El potenciómetro de sintonía es R66 (R4 arriba) y el potenciómetro Q es R69 (R5 arriba).
4.2 Prototipo
4.2.1 Circuito
Este es el circuito Bainter tal y como está construido:
4.2.2 Filtro de Notch de Bainter de Banco
El circuito anterior se fijó dentro de un equipo de banco de pruebas modificado, con el siguiente panel frontal:
El conmutador de rango cambia la frecuencia del filtro por décadas, mientras que el conmutador de atenuación de entrada de 3 posiciones tiene posiciones para atenuación de 0 dB, -20 dB y -40 dB. La menor manilla interior de ese interruptor es el ajuste de Q.
4.3 Resultados
Cuando se barre con el analizador de espectro se puede ver el efecto del ajuste de Q:
Como se anunció, la sintonía del notch se ve mínimamente afectada al ponerlo en marcha. La frecuencia es de 0 a 1 KHz del lado izquierdo al derecho.
Fue mejor dejar ese ajuste por completo ya que no sirve de nada reducir el Q para mis necesidades. En concreto, utilicé este filtro notch de Bainter para ayudar a medir la distorsión de este generador basado en el oscilador Wien-Bridge
Bibliografía:
[1] James R Bainter, Active Filter Has Stable Notch, and Response Can Be Regulated, Electronics, p 115-117, Oct 2, 1975
[2]: Nilsson, James, Circuitos Eléctricos, 2019.
Sobre el autor:
B. Ap. Sci. (EE), 1977 Universidad de Waterloo, ingeniero, emprendedor, retirado.
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